Birinchi tur sirt integrallari 10. Birinchi tur sirt integrali tushunchasi

2⁰. Ikkinchi tur sirt integralining mavjudligi va uni hisob­lash. Faraz qilaylik, funksiya (1) tenglama bilan berilgan sirtda aniqlangan bo’lsin.
1-teorema. Agar funksiya sirtda uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiyaning sirt bo’yicha ikkinchi tur integrali mavjud va
(3)
bo’ladi.
◄ sirtning ixtiyoriy

bo’laklashni olamiz. sirt va larning tekis­ligi­dagi proyeksiyalar to’plamning

bo’laklashni hosil qiladi.
bo’laklashga nisbatan funksiyaning integral yig’in­­disi

ni tuzamiz.
Aytaylik, sirtning ustki tomoni qaralayotgan bo’lsin. Unda barcha lar musbat ishora bilan olinadi.
funksiya sirtda qaralayotgani uchun

bo’ladi. Jumladan

bo’ladi.
Natijada yig’indi quyidagi ko’rinishga keladi:
. (4)
Bu tenglikning o’ng tomonidagi yig’indi ushbu

ikki o’zgaruvchili uzluksiz funksiyaning integral yig’indisi. Demak,
. (5)
(4) va (5) munosabatlardan

bo’lishi kelib chiqadi. ►
Xuddi yuqoridagidek, tegishli shartlarda
,
integrallar mavjud va
(6)
(7)
bo’ladi.
Ikkinchi tur sirt integrallari ikki karrali integrallarga kelti­ri­lib (3), (6) va (7) formulalar yordamida hisoblanadi.
1) Agar sirt yasovchilari o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirt bo’lsa, u holda

bo’ladi:
2) yasovchilari o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirt bo’lsa, u holda

bo’ladi:
3) yasovchilari o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirt bo’lsa, u holda

bo’ladi.
1-misol. Ushbu ikkinchi tur sirt integrali

hisoblansin, bunda sirt ning , tekisliklar ora­si­dagi qismining ustki tomoni (2-chizma).

2-chizma
◄ Sirtning nuqtadagi normali o’qi bilan o’tkir burchak tashkil etadi. Shuning uchun berilgan integralni (3) formulaga ko’ra hisob­lashda musbat ishora bilan olinadi. sirtning tekisligidagi proyeksiyasi ushbu

to’rtburchakdan iborat bo’ladi.
(3) formuladan foydalanib topamiz:


. ►