Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalar

Umumiy 1-tur chegaraviy masala va uni yechishni sodda holga
keltirish usuli.
Endi issiqlik tarqalishining bir jinsli bo’lmagan tenglamasiga qo’yilgan bir jinsli bo’lmagan boshlang’ich va 1-tur chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimni topish masalasini, ya’ni
(12)
issiqlik tarqalish tenglamasining
(19)
boshlang’ich shartni hamda
(20)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi va sohada aniqlangan ikkinchi tartibgacha uzluksiz aynan nolga teng bo’lmagan yechimini topish masalasini qaraymiz. Bunda va lar berilgan funksiyalar bo’lib, o’z argumentlarining uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalaridir.
Ushbu masalani yordamchi kiritish bilan avval o’rganilgan soddaroq chegaraviy masalalarni yechishga keltirish mumkin. Haqiqatan ham (12) tenglamaning yechimini
(21)
ko’rinishda izlasak va undan kerakli xususiy hosilalarni olib (12), (19) va (20) ga qo’ysak va unda yordamchi funksiyani

shartlarni qanoatlantirsin deb, masalan
(22)
kabi tanlasak (bunday funksiyalar yagona emas), funksiya uchun (1)-(3) masalaga o’xshash bo’lgan



masalani yechish masalasiga kelamiz. Bunda
,
aniq ko’rinishga ega bo’lgan berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalardir. Bu masalani (1)-(3) masalani yechish usulidagi kabi yechib, uni va (22) ni (21) ga qo’yib, (12) issiqlik tarqalish tenglamasining (19) va (20) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini olamiz.
Xulosa. Bu mavzuda biz aralash masalani yechimini topishning Fur’e usuli bilan 1-chegaraviy masala misolaida tanishdik. Ushbu usulni 2-, 3-chegaraviy masalalar hamda aralash chegaraviy masalalarga ham xuddi shu kabi tatbiq etish mumkin. Ushbu hollarda asosiy farq faqat chegaraviy shartlarda bo’lgani kabi Shtuurm-Liuvill masalasi xos qiymat va xos funksiyalari o’zgaradi.
Mavzuda dastlab bir jinsli chegaraviy shartlar qo’yilgan, so’ngra bir jinsli bo’lmagan tenglama va oxirida umumiy chegaraviy masalani yechish usullari hamda uni sodda masalaga keltirish usuli bilan tanishdik. Qo’llanil;gan ushbu usul 2- , 3- va aralash turdagi chegaraviy masalalarni yechish uchun ham bevosita qo’llanilishi mumkin. Bunda faqat Shturm-Liuvilll masalasi chegaraviy shartlari va o’z navbatida xos qiymat va xos funksiyalari boshqacharoq ko’rinishni oladi. Shu sababli tuzulgan Fur’e qatori ham xos funksiya ko’rinishiga bog’liq ravishda o’zgaradi. Yechim berilgan boshlang’ich va chegaraviy shartlardan uzluksiz bog’liqligi uning ko’rinishidan va integralning uzluksizlik xossasidan kelib chiqadi. Shuning bilan biz chegaraviy masal yechimining mavjudligi, yagonaligi va turg’unligini to’la hal etdik.

Misol-1

MISOL-2