Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalar

Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalar
Bu mavzuda biz birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama, uning kvazichiziqli, chiziqli ko’rinishlari, bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan ko’rinishlari bilan tanishamiz hamda ushbu tenglamalarninig xususiy va umumiy yechimini uning xarakteristik tenglamasi va birinchi integrallar deb ataluvchi xarakterisytik chiziqlar oilasi orqali qurish usuli haqida to’xtalamiz. Topilgan umumiy yechim orqali tenglamaga qo’yilgan Koshi masalasi yechimini topish masalasi ham o’rganiladi.
1-Ta’rif. noma’lum funksiya, uning argumentlari va birinchi tartibli xususiy hosilalari qatnashgan differensial tenglamaga birinchi tartibli xususiy hosilali diffrensial tenglama deyiladi va u umumiy holda
(1)
ko’rinishda yoziladi. Bunda berilgan funksiya.
Masalan quyidagi
, , ,
tenglamalar birinchi tartibli xususiy hosilali diffrensial tenglamaga misol bo’ladi.
2-Ta’rif. Agar (1) birinchi tartibli xususiy hosilali diffrensial tenglama
(2)
ko’rinishda bo’lsa unga birinchi tartibli kvazichiziqli differensial tenglama deyiladi. Bunda berilgan funksiya.
Agar (2) tenglamada bo’lsa unga bir jinsli, aks holda ya’ni qaralayotgan sohada bo’lsa (2) tenglamaga bir jinsli bo’lmagan xususiy hosilali kvazichiziqli tenglama deyiladi.
Agar (2) tenglamada qatnashayotgan koeffisientlar faqat larga bog’liq bo’lib, noma’lum funksiya dan bog’liq bo’lmasa va funksiya ham dan chiziqli bog’liq bo’lsa u holda bunday tenglamaga birinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Masalan yuqorida keltirilgan misollardan birinchi va to’rtinchisi birinchi tertibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama bo’ladi. Ulardan birinchisi ikki o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan bir jinsli tenglama bo’lsa, ularning to’rtinchisi esa uch o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan bir jinsli bo’lmagan tenglama bo’ladi.

2.