Birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishning izoklinalar usuli

Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan differensial tenglamalar

(5)

ko’rinishdagi tenglamalarni bir jinsli tenglamalarga keltirish mumkin. Agar s₁q 0, sq0 bo’lsa, tenglama bir jinsli bo’lishini ko’rish qiyin emas.Faraz qilaylik, s va s₁ larni birortasi noldan farqli bo’lsin. xqx₁Qh, yqy₁Qk almashtirish bajaramiz. U holda

.

x,u va ifodalarni (5) tenglamalarga qo’yib

(6)

tenglamaga ega bo’lamiz. h va k larni shunday tanlab olamizki,

(7)

tenglamalar o’rinli bo’lsin, ya’ni h va k larni (7) tenglamalar sistemasining yechimi sifatida olamiz. Bu holda (6) tenglamadan bir jinsli tenglamani hosil qilamiz. Tenglamani yechib va x hamda u larga x₁qx-h, y₁qy-h formulalar yordamida qaytib, berilgan (5) tenglamaning yechimini topamiz. Agar

bo’lsa, ya’ni ab₁qa₁b bo’lganda, ma’lumki, (7) sistema yechimga ega bo’lmaydi. Ammo, bu o’olda , ya’ni a₁qa, b₁qb bo’ladi.

Bundan kelib chiqadiki (5) tenglamani

(8)

ko’rinishga keltirish mumkin bo’ladi. Bu holda

zqaxQby (9)

almashtirish yordamida tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga aylanadi, haqiqatdan, tenglikdan

(10)

munosabatni hosil qilamiz, hamda (9) va (10) ifodalarni (8) tenglamaga qo’yib, o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz.

Yuqorida (5) tenglamaga qo’llanilgan usulni tenglamaga ham qo’llash mumkin, bu yerda f qandaydir uzluksiz funksiya