Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

Ikki va uch no’malumli birinchi darajali tenglama va tengsizliklarning geometrik ma’nosi.Ushbu
ax+by+c=0 (1)
ikki no’malumli birinchi darajali tenglamani qaraymiz. (1) da x va y larni tekislikdagi nuqtaning koordinatalari deb qarab uning tekislikdagi qanday nuqtalar to’plamini aniqlashini aniqlaylik. O’quvchilarga ma’lumki (1) tekislikda to’g’ri chiziqni aniqlaydi. Chunki uni b 0 bo’lganda y=kx+p ko’rinishida yozishimiz mumkin. b=0 bo’lsa (1) dan x=h bo’lib OY o’qiga parallel to’g’ri chiziq tenglamasiga kelamiz.
Agar
ax+by+c 0 (2)
tengsizlikni qarasak ham yuqoridagi singari savollarga javob berishimiz mumkin. Bu tengsizlik b 0 bo’lganda
y kx+p yoki y=kx+p
ko’rinishlardan biriga keltiriladi. Bu tengsizliklardan birinchi y=kx+p to’g’ri chiziqdan va undan yuqorida, ikkinchisi esa shu to’g’ri chiziq va undan pastda yotuvchi nuqtalar to’plamidan iborat.

Agar b=0 bo’lsa (2) – tengsizlik x h yoki x≤h ko’rinishlardan biriga keltiriladi. Bulardan birinchisi x=h to’g’ri chiziq va undan chapda joylashgan nuqtalar to’plamini beradi. (13-shakl)
Endi yuqoridagi singari masalani
ax+by+cz+d=0 (3)
tenglama va
ax+by+cz+d 0 (4)
tengsizlik uchun qaraymiz. Bularda x,y,z larni fazodagi nuqtaning koordinatalari sifatida qarasak quyidagi teorema o’rinli.
Teorema. (3) tenglama fazoda biror tekislikni aniqlaydi. (4) tengsizlik esa (3) tekislik fazoni 2 ta yarim tekislikga ajratganda hosil bo’lgan yarim tekislikga ajratganda hosil bo’lgan yarim tekisliklardan birini beradi.
Isboti. a,b,c sonlaridan birortasi, masalan c 0 bo’lsin, u holda (3) tenglamani
z=kx+ly+p (5)
ko’rinishida yozish mumkin. (5) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plamini L bilan belgilaylik. L ning tekislik ekanligini ko’rsatamiz.
Avvalo Ldagi qaysi nuqtalar YOZ koordinatalar tekisligiga tegishli ekanligini aniqlaymiz. Buning uchun (5) da x=0 deb olamiz, u holda
z=ly+p (6)
tenglama hosil bo’ladi. Demak L ning YOZ tekislik bilan kesishma (6) – tenglama bilan aniqlanuvchi n to’g’ri chiziqdan iborat ekan (14-shakl)
Shunga o’xshash Lning XOY tekislik bilan kesishmasi
z=kx+p (7)
tenglama bilan aniqlanuvchi v to’g’ri chiziqdan iborat. Ikkala to’g’ri chiziq ham P(0,0,p) nuqtadan o’tadi. uv av to’g’ri chiziqlar tegishli bo’lgan tekislikni π bilan belgilaymiz va π ning L ga tegishli ekanligini ko’rsatamiz.
Buning uchun v ning ixtiyoriy A nuqtasida va u ga parallel to’g’ri chiziqning L ga tegishli ekanligini ko’rsatish yetarli.
Avvalo OB//u bo’ladigan biror B nuqtani topamiz. YOZ tekislikda z=ly+p tenglama u to’g’ri chiziqni aniqlaydi, demak y=ly u ga parallel bo’lgan va koordinatalar boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi B nuqta sifatida shu to’g’ri chiziqda yotuvchi y=1, z=l koordinatali nuqtani olish mumkin.
a ixtiyoriy A€V nuqtaning koordinatalari x;0;kx+p dan iborat. Biz tanlagan B nuqtaning koordinatalari esa 0,1,l ga teng. A nuqtadan o’tuvchi va u to’gri chiziqqa parallel to’g’ri chiziq
A+SB=(x,0,kx+p)+S(0,1,l)=(x,S,(kx+p)-Sl)
ko’rinishdagi nuqtalar to’plamidan iborat bo’ladi. Bu yerda S-ixtiyoriy son. Osonlik bilan tekshirib ko’rish mumkinki A+SB nuqtaning koordinatalari (5) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni A+SB∈L₁ shu bilan birga π tekislikning to’laligicha L to’plamga tegishli ekanligini ko’rsatdik. Endi L ning π bilan ustma-ust tushishini ko’rsatamiz, ya’ni L da π ning nuqtalaridan boshqa nuqtalar yo’qligini ko’rsatamiz.
Buning uchun 3 ta nuqtani qaraymiz:
π tekislikdagi M(x₀,y₀,z₀), π tekislik yuqorida yotuvchi M’(x₀,y₀,z₀+ε), (ε>0), π tekislikdan pastda yotuvchi M’’(x₀,y₀,z₀- ε) nuqtalarni qaraymiz. (15-shakl)

M bo’lgani uchun z₀=kx₀+ly₀+p va demak
z₀+ε>kx₀+ly₀+p,
z₀-ε0+ly₀+p.
Bu yerdan M’ nuqtaning koordinatalari z>kx+ly+p qa’tiy tengsizlikni, M’’ nuqtaning koordinatalari esa zL ga tegishli emas. Bundan tashqari bizning yuqoridagi mulohazalarimizdan kelib chiqadiki ax+by+cz+d>0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to’plami π – tekislik fazo 2ta yarim fazolarga ajratganda hosil bo’lgan yarim fazolardan biridir.
3.Ikki va uch no’malumli tengsizliklar sistemalarining geometrik ma’nosi:
Ushbu ikki no’malumli tengsizliklar sistemasi
(1)
berilgan bo’lsin. Yuqorida qaraganlarimizga asosan bularning har biri XOY koordinatalar tekisligida biror yarim tekislikni aniqlaydi. Bu yarim tekisliklarni mos ravishda Π₁, Π₂, ..., Π_m deb belgilab olamiz. Agar biror (x,y) juftlik (1) sistemani qanoatlantirsa M(x,y) nuqta bu tekisliklarning barchasi birdaniga tegishli bo’ladi ya’ni M(x,y) nuqta Π₁, Π₂,..., Π_m yarim tekisliklarning kesishmasi esa biror ko’pburchakli K sohani beradi(16-shakl). Bu K sohaga (1) sistemaning yechimlari sohasi deyiladi. Shuni ham ta’kidlashimiz kerakki, (1) ning yechimlar sohasi hamma vaqt ham chegaralangan bo’lavermaydi, chegaralanmagan 17-shakldagi singari ochiq soha ham bo’lishi mumkin. Bu holda ham yechimlar sohasini qulaylik uchun ko’pburchakli soha (yoki ko’pburchak) deb atashga kelishamiz. K soha bitta ham elementga ega bo’lmasligi mumkin(18-shakl). Bu holda (1) sistemani ziddiyatli sistema deyiladi. Yechimlar sohasi hamma vaqt qavariq bo’ladi.
Bizga ma’lumki, agar qaralayotgan to’plamga uning ixtiyoriy 2 ta nuqtasi A va B bilan birga shu nuqtalarni tutashtiruvchi kesma AB ham tegishli bo’lsa, bunday to’plamga qavariq to’plam deyiladi.(19-shakl)

Yechimlar sohasi K ning qavariqligini bu sohani hosil qilish usulidan kelib chiqadi. Har bir yarim tekislik qavariq soha, ularning kesishmasi ham qavariq bo’ladi. Bu esa quyidagi lemmadan kelib chiqadi.