Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

Chiziqli tengsizliklar sistemasining hamjoyli, hamjoysizligi

Bundan ilgari paragrafda biz ikki noma’lumli tengsizliklar sistemasining yechimlari sohasini toppish bilan shug’ulandik.U yerda keltirilgan mulohazalar uch noma’limli chiziqli tengsizliklar sistemasi uchun ham o’rinli bo’ladi.Bu holda yechimlar sohasi ko’pyoqdan iborat bo’ladi.Shuni ham ta’kidlashimiz kerakki, bu sistemalarni tekshirish bir tomondan unchalik qiyin emas va maktab matematika kursi doirasida bemalol o’rganish mumkin, ikkinchi tomondan esa bularni geometrik nuqtai nazardan yaqqol tasvirlash mumkin.Lekin matematikaning tadbiqlarida (masalan chiziqli dasturlashda) noma’lumlar soni n>3 bo’lgan tengsizliklarni tekshirish kerak bo’ladi va dasturlash masalasi hozirgi zamon matematikasining dolzarb masalalaridan biri hisoblanadi.Shuning uchun ham bu yerda biz ixtiyoriy n>3 o’zgaruvchilli tengsizliklar sistemasini tekshiramiz.

n-noma’lumli tengsizliklarni geometrik talqin qilish uchun bizga n-o’lchovli fazo tushunchasi kerak bo’ladi.Avvalo qisqacha ana shu tushunchaga to’xtalamiz.
n-o’lchovli fazoning ixtiyoriy nuqtasi ta’rifiy bo’yicha n ta x₁,x₂,…,x_n tartiblangan sonlar bilan aniqlanadi va bu sonlarga nuqtaning koordinatalari deyiladi.Bizga maktab matematika kursidan ma’lumki to’g’ri chiziqdagi har bir nuqta bitta haqiqiy son bilan, tekislidagi esa 2 ta tartiblangan haqiqiy sonlarning uchta (x,y,z) tartiblangan sonlar bilan aniqlanadi.Bundan keyin biz “x₁,x₂,…,x_n sonlari M nuqtaning koordinatalari” degan jumlaning o’rniga M=( x₁,x₂,…,x_n) yoki M(x₁,x₂,…,x_n) yozuvidan foydalanamiz. (0,0,…,0) nuqtaga koordinatlar boshi deb ataymiz.
Endi n-o’lchovli fazoda kesma deganda nimani tushunishimizni aniqlashtirib olamiz.Yuqorida qaraganimizga asoslanib 2 va 3 o’lchovli fazolarda M₁M₂ kesma deganda
S₁M₁+ S₂M₂ , S₁ +S₂=1
nuqtalar to’plamini tushunar edik, bunda S₁S₂ - manfiy bo’lmagan sonlar, n-o’lchovli fazoda ham M₁M₂ kesma xuddi shunday aniqlaymiz, ya’ni agar
M₁=( x₁,x₂,…,x_n) va M₂=( x₁,x₂,…,x_n) nuqtalar berilgan bo’lsa M’ M’’ kesma deganda
S’M₁+S’’M₂=(S’x₁’+ S’’x₁’’,…, S’x_n’+ S’’x_n’’) (1)
Nuqtalar to’plamini tushunamiz.Bu yerda S’, S’’ lar S’+S’’=1 shartni qanoatlantiruvchi manfiy bo’lmagan sonlar.
S’=1, S’’=0 bo’lganda M’ nuqta, S’=0, S’’=1 esa M’ nuqtani hosil qilamiz. Bu nuqtalarga M’, M’’ kesmaning uchlari, boshqa nuqtalariga ega (bu holda S’>0, S’’>0) M’, M’’ kesmaning ichki nuqtalari deyiladi.
n-o’lchovli fazoga tegishli yana bir tushunchalardan gipertekislik tushunchasi bizga kerak bo’ladi. Bu tushuncha odatdagi 3 o’lchovlifazodagi tekislik tushunchasining umumlashmasidir. Bu yerda “giper” qo’shimchasi ma’lum (aniq) ma’noga ega. n-o’lchovli fazoda 1-o’lchovli (to’g’ri chiziq) 2-o’lchovli (odatdagi tekislik) va hokazo (n-1)-o’lchovli “tekislik”lar bo’lishi mumkin.Ana shu (n-1)-o’lchovli tekislikka gipertekislik deyiladi.Gipertekislikga aniqroq qilib quyidagicha ta’rif berish beramiz.
Ta’rif. Koordinatalari
a₁x₁+ a₂x₂+…+ a_nx_n+b=0 (2)
tenglamani qanoatlantiruvchi nuqta M( x₁,x₂,…,x_n) lar to’plamiga giper tekislik deyiladi, bu yerda a₁, a₂, …, a_n sonlaridan birortasi noldan farqli.
Xususiy holda n=3 da (2) dan a₁x₁+ a₂x₂+…+ a_nx_n+b=0 odatdagi fazodagi tekislik tenglamasiga ega bo’lamiz. (2)-giper tekislikga nisbatan n-o’lchovli fazo 2 qismga:
a₁x₁+ a₂x₂+…+ a_nx_n+b ≥0 (3)
tengsizlik o’rinli bo’lgan soha va
a₁x₁+ a₂x₂+…+ a_nx_n+b ≤0 (4)
tengsizlik o’rinli bo’lgan sohaga bo’linadi.Bu sohalarga yarim fazo;ar deyiladi.
Shunday qilib gipertekislik fazo 2ta yarim fazoga ajratadi va bu yarimfazo orasida chegara (umumiy qism) vazifasini o’taydi.
Qavariq jism tushunchasi ham n-o’lchovli fazoda ham umumlashtiriladi. Agar n-o’lchovli fazodagi biror top’lam o’zining M₁ va M₂ ni ham to’laligicha o’zida saqlasa bunday to’plamga qavariq to’plam deyiladi.
Ixtyoriy yarimfazo qavariq to’plamdir. Haqiqattan ham farza qilaylik M₁(x₁’, …, x_n’) va M₂(x₁’’, …, x_n’’) nuqtalar (3) yarimfazoga tegishli bo’lsin. M₁M₂ kesmaning ixtiyoriy M nuqtasing ham shu yarimfazoga tegishli ekanligini ko’rsatamiz. M( x₁,x₂,…,x_n) nuqtaning koordinatalarini (1) dan foydalanib quyidagicha yozib olamiz:
x₁=Sx₁’+(1-S) x₁’’ , x₂= Sx₂’+(1-S) x₂’’ , … , x_n=Sx_n’+(1-S) x_n’’ , (0≤S≤1).
Bu ifodalarni (3) ning chap tomoniga qo’yib quyidagiga ega bo’lamiz.
a₁ (Sx₁’+(1-S) x₁’’) + a₂ (Sx₂’+(1-S) x₂’’) + … + a_n (Sx_n’+(1-S) x_n’’)+b=S (a₁x₁’+ a₂x₂’+ …+ a_nx_n’) + (1-S) (a₁x₁’’+ a₂x₂’’+ …+ a_nx_n’’) + Sb + (1-S)=S(a₁x₁’+ a₂x₂’+ …+ a_nx_n’+b) + (1-S) (a₁x₁’’+ a₂x₂’’+ …+ a_nx_n’’+ b) ≥ 0
Chunki S ≥ 0 va 1-S ≥ 0. Demak M nuqta (3) yarinfazoga tegishli va shuning uchun ham u qavariq.
Endi faraz qilaylik
a₁x₁+ a₂x₂+…+ a_nx_n+a ≥0
b₁x₁+ b₂x₂+…+ b_nx_n+b ≥0 (5)
………………………….
c₁x₁+ c₂x₂+…+ c_nx_n+c ≥0
chuziqli tengsizliklar sistemasi berilgan bo’lsin. Bu tengsizliklarning har biri biror yarimfazoni, ularning barchasi birgalikda esa n-o’lchovli fazodagi biror K sohani aniqlaydi. Bunda K qaralayotgan yarimfazolarning kesishmasidan iborat bo’ladi va uni ham qavariq to’plamlarning kesishmasi.
Chekli sondage qavariq yarimfazolar kesishmasidan iborat qismiga qavariq ko’p yoqli soha deyiladi. Bu soha chegaralangan bo’lsa unda qavariq ko’pyoqli deyiladi.