Bir ozgaruvchilik ko'p xadlar bezuk tioremasi algebraning asosiy teoremalari algebravik sonlar maydoni Reja

Bir ozgaruvchilik ko'p xadlar bezuk tioremasi algebraning asosiy teoremalari algebravik sonlar maydoni

Reja:

1. 
   Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya
   
2. 
   Bir o`zgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali
   
3. 
   Algebraning asosiy teoremasi.
   
4. 
   Kompleks son va uning algebraik, trigonometrik, ko’rsatkichli shakllari hamda ular ustida amallar.
   

1. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami.

n o`lchovli haqiqiy fazoda V = {M(x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; …; x<sub>n</sub>)} є R<sub>n</sub> nuqtalar to`plami berilgan bo`lsin.
V to`plamga tegishli har bir M(x₁; x₂; …; x_n) nuqtaga aniq biror-bir y haqiqiy sonni mos qo`yuvchi f  qonunga x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, …, x<sub>n</sub> o`zgaruv-chilarning V nuqtalar to`plamida berilgan funksiyasi deyiladi. n ta o`z-garuvchilarning funksiyasi y = f (M) yoki y = f (x₁; x₂; …; x_n) ko`ri-nishda yoziladi. f (M) haqiqiy son u funksiyaning M nuqtada erishadigan qiymatini anglatadi.
Xususan, agar V є R<sub>1</sub> bo`lib, V to`plam R<sub>1</sub>={x} haqiqiy sonlar to`p-lamining qism osti to`plamidan iborat bo`lsa, V to`plamda bir o`zga-ruvchili y = f (x) funksiya berilgan deyiladi.
Misollar: 1) f (x) = lnx – V = {x є R₁ | x>0} to`plamda berilgan bir x o`zgaruvchili funksiya. Xususan, f (e) = lne = 1.
2) \ O ( 0 ; 0 ) to`plamda berilgan ikki x <sub>1</sub> va x <sub>2</sub> o`zgaruvchili funksiya. M(- 1; 2) nuqtada f  (-1; 2) = 0,2.
3)  to`plamda berilgan uch x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> va x<sub>3</sub> o`zgaruvchili funksiya. M(1; -1; 1) nuqtada f (1; -1; 1) = 2.
y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya berilgan R_n fazoga tegishli to`plamga uning aniqlanish sohasi deyiladi va D(f ) yoki D(y) yozuv bilan ifodalanadi.
y = f (M) funksiya o`z aniqlanish sohasi D(f ) ning har bir nuqtasida qabul qilishi mumkin bo`lgan barcha qiymatlari to`plamiga esa uning qiymatlari to`plami yoki o`zgarish sohasi deyiladi. Funksiya qiymatlar to`plami R<sub>1</sub> haqiqiy sonlar to`plamining qism osti to`plami bo`lib, E(f ) yoki E(y) belgilar bilan yoziladi.
Misollar: Quyida berilgan funksiyalarning aniqlanish sohalarini to-ping va tegishli fazoda tasvirlang. Funksiyalarning qiymatlar to`plamini aniqlang:

1) y = log₂(3–x), 2) ,

3) y = arccos x₁ + arccos x₂ + arccos x₃ .
1) bir o`zgaruvchili y = log<sub>2</sub>(3-x) funksiya aniqlanish sohasi D(y): 3–x > 0 tengsizlik yechimidan iborat. Shunday qilib, D(y) = (- ∞; 3) є R<sub>1</sub>. Funksiya aniqlanish sohasi sonlar o`qida (- ∞; 3) ochiq nur ko`rinishida tasvirlanadi:


Funksiya qiymatlari to`plami esa sonlar o`qidan iborat, ya`ni E(y) = R<sub>1</sub>.
2) funksiya ikki o`zgaruvchili bo`lib, uning aniqlanish sohasi D(y) = {M(x₁; x₂) є R₂ | x₁ ≥ }. Funksiya aniqlanish sohasi haqiqiy koordinatalar tekisligi R₂ da quyidagicha tasvirlanadi:

Funksiya qiymatlari to`plami E(y) = [0; ∞).

3) berilgan uch o`zgaruvchili funksiya aniqlanish sohasi
D(y) = {M(x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; x<sub>3</sub>) є R<sub>3</sub>  | -1≤ x<sub>1</sub>≤ 1,  -1≤ x<sub>2</sub> ≤ 1, -1 ≤ x<sub>3</sub> ≤ 1}.
Funksiya aniqlanish sohasi R<sub>3</sub> fazoda qirrasi 2 ga teng, simmetriya markazi koordinatalar boshida, yoqlari esa koordinatalar tekisliklariga parallel bo`lgan kubdan iborat:

Funksiya qiymatlari to`plami E(y) = [0; 3π].
2. Bir o`zgaruvchili funksiya umumiy xossalari va grafigi. Tes-kari funksiya.
V  R<sub>1</sub> nuqtalar to`plamida aniqlangan bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiyaning grafigi deb, mumkin bo`lgan barcha (x; f (x)), x є V juf-tliklarning x0y to`g`ri burchakli koordinatalar tekisligidagi aksiga aytiladi.
R₁ fazoda, x = 0 nuqtaga nisbatan simmetrik, nuqtalarning V qism to`plami va unda aniqlangan y = f (x) funksiya berilgan bo`lsin.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = f (x) tenglik o`rinli bo`lsa, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya V to`plamda juft funksiya deyiladi. Juft funksiya grafigi 0u ordinata o`qiga nisbatan simmetrikdir.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = -f (x) munosabat o`rinli bo`lsa, y = f (x) V to`plamda toq funksiya deyiladi. Toq funksiya gra-figi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir.
Masalan, juft natural darajali y = x²ⁿ (n є N) funksiya juft funksiyaga misol bo`lsa, toq natural darajali y = x<sup>2n–1</sup> (n є N) toq funksiyaga misoldir.
y = f (x) funksiya uchun shunday bir musbat t son mavjud bo`lsaki, funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday x va x + t nuqtalari uchun f (x+t) = f (x) tenglik bajarilsa, y = f (x) funksiya davriy funksiya deyiladi. t soni esa funksiya davri deb yuritiladi. Amalda funksiya davrlari ichidan eng kichigi T ni topish masalasi qo`yiladi, qolgan barcha davrlar uning butun karralisidan iborat bo`ladi.
Masalan, y = 5sin(0,25πx) funksiyaning eng kichik musbat davri .
y = f (x) funksiya V  R₁ to`plamda aniqlangan bo`lib, uning biror-bir V₁ qism osti to`plamidan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x<sub>1</sub> va x<sub>2</sub> nuqtalar uchun x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> munosabatdan f (x<sub>1</sub>)< f (x<sub>2</sub>) (f (x<sub>1</sub>)≤ f (x<sub>2</sub>)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda y = f (x) funksiya V<sub>1</sub> to`plamda o`suvchi (kamayuvchi emas) deyiladi.
Agarda funksiya aniqlanish sohasiga tegishli V<sub>1</sub> to`plamdan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x₁ va x₂ nuqtalar uchun x₁< x₂ shartdan f (x₁)>f (x₂) (f (x₁) ≥ f (x₂) tengsizlik kelib chiqsa, y = f (x) funksiya V₁ to`plamda kamayuvchi (o`suvchi emas) deyiladi.
O`suvchi va kamayuvchi funksiyalarga qat`iy monoton funksiyalar deyiladi.
Masalan, y = e^x aniqlanish sohasi R₁ da qat`iy monoton o`suvchi funksiyaga misol bo`lsa, x haqiqiy sonning butun qismi y = [x] esa kamayuvchimas funksiyaga misol bo`la oladi.
y = f (x) funksiya D(y)  R₁ sohada aniqlangan bo`lib, Ye(u) uning qiymatlar to`plami bo`lsin. Ushbu funksiya uchun har qanday x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> є D(y) lar qaralmasin, x<sub>1</sub> ≠ x<sub>2</sub> shart qanoatlantirilganda, f (x<sub>1</sub>) ≠ f (x<sub>2</sub>) munosabat bajarilsin. U holda, har bir u є E(y) songa f (x) = y tenglikni qanoatlantiruvchi aniq bir x є D(y) sonni mos qo`yish mumkin, boshqacha aytganda, E(y) to`plamda berilgan y=f (x) funksiyaga teskari x=g(y) funksiyani aniqlash mumkin.
Berilgan y = f (x) funksiyaning qiymatlari to`plami E(y) teskari funksiya uchun aniqlanish sohasi bo`lsa, y = f (x) funksiyaning aniqlanish sohasi D(y) teskari funksiya uchun qiymatlar sohasi rolini o`taydi.
Biror–bir [a; b] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz y = f (x) funksiya, o`zining [f (a); f (b)] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz x = g(y) teskari funksiyasiga ega.
Masalan, y = sin x funksiya kesmada aniqlangan, qat`iy monoton o`suvchi va uzluksiz bo`lganidan, [ -1 ; 1 ] kesmada aniqlangan, qat`iy o`suvchi va uzluksiz x = arcsin y  teskari funksiyasiga ega.
O`zaro teskari f (x) va g(x) funksiya grafiklari birinchi chorak simmetriya o`qi y = x to`g`ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.
3. Chegaralangan funksiya. Qavariq va botiq funksiyalar haqi-da tushuncha.
V₁  D(y) nuqtalar to`plamida berilgan y = f (x) funksiyaning V<sub>1</sub> da erishadigan qiymatlari to`plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo`lsa, funksiya V<sub>1</sub> da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.
y = f (x) funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanganligi, shunday bir K son mavjudligini anglatadiki, barcha M є V<sub>1</sub> nuqtalar uchun f (M) ≤ K (f (M) ≥ K) tengsizlik o`rinli bo`ladi.
V<sub>1</sub>  D(y) nuqtalar to`plamida ham quyidan va ham yuqoridan che-garalangan funksiyaga, V₁ to`plamda chegaralangan funksiya deb ataladi. Ushbu holda, agar V<sub>1</sub> = D(y) bo`lsa, y = f (M) funksiya aniqlanish sohasida chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari to`plami chegaralangan sonlar to`plamidan iborat bo`ladi.
Agar y = f (M) funksiya V<sub>1</sub> to`plamda yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan bo`lsa, V<sub>1</sub> to`plamga tegishli {M_k} nuqtalar ketma-ketligi mavjudki, ( ) munosabat o`rinlidir.
Misollar:
1) bir o`zgaruvchili y = x² funksiya aniqlanish sohasi R₁ da quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki E(y)=[0; ∞);
2) ikki o`zgaruvchili funksiya o`z aniqlanish sohasi D(y) = {M(x₁; x₂) є R₂ | x₁² + x₂² ≤ 1} to`plamda chegaralangandir, chunki E(y) = [0; 1].
y = f (M) funksiya qavariq V  R<sub>n</sub> nuqtalar to`plamida aniqlangan bo`lsin.
V qavariq to`plamga tegishli har qanday ikki M₁(x₁; x₂; …; x_n) va M₂(u₁; u₂; …; u_n) nuqtalar va ixtiyoriy 0 ≤ α ≤ 1 son uchun f (P) ≤ α f (M₁) + (1-α) f (M₂) (f (P) ≥ α f (M₁) + (1–α) f (M₂)) tengsizliklar o`rinli bo`lsa, bu yerda R(α x₁ +(1–α)u₁; α x₂ +(1–α)u₂; …; αx_n +(1-α)u_n), u holda, y = f (M) funksiya V to`plamda qavariq (botiq) funksiya deyiladi.
Masalan, y = x<sup>2</sup> funksiya R<sub>1</sub> da qavariq funksiyaga misol bo`lsa, y = -x² funksiya esa R₁ da botiq funksiyaga misol bo`ladi. n o`zgaruvchili chiziqli y = a₁x₁ + a₂x₂ + … +a_nx_n funksiya R_n fazoda bir vaqtda ham qavariq va ham botiq funksiyadir.
Qavariq funksiyalar quyidagi xossalarga ega:
1. –f (M) funksiya V to`plamda botiq bo`lgandagina, f (M) funksiya V da qavariq funksiya bo`ladi.
2. f<sub>1</sub>(M) va f<sub>2</sub>(M) funksiyalar V to`plamda qavariq bo`lsa, ularning ixtiyoriy nomanfiy k<sub>1</sub> va k<sub>2</sub> koeffitsientli chiziqli k<sub>1</sub>f<sub>1</sub>(M) + k<sub>2</sub>f<sub>2</sub>(M) kombinatsiyasi V to`plamda qavariq bo`ladi.
3. f (M) funksiya V to`plamda qavariq bo`lib, {M є V | f (M) ≤ b} to`plam bo`sh bo`lmasa, bu yerda b ixtiyoriy son, u holda to`plamning o`zi ham qavariq to`plamdir.
Botiq funksiyalar ham yuqoridagi xossalarga o`xshash xossalarga ega.
Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti
1. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti haqida tushuncha. Ajoyib limitlar. Yaqinlashuvchi funksiya xossalari
y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya V  R_n to`plamda aniqlangan bo`lib, nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi bo`l-sin. Funksiya limitining bir-biriga o`zaro teng kuchli Geyne va Koshi tillaridagi ta`riflari mavjud.
Ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti Geyne yoki nuqtalar ketma-ketligi tilida quyidagicha ta`riflanadi: Har bir hadi V to`plamga tegishli va M₀ quyuqlanish nuqtasidan farqli har qanday M₁, M₂, …, M_k, … nuqtalar ketma-ketligi M₀ nuqtaga intilganda, mos funksiya qiymatlari f (M₁),  f (M₂), …,  f (M_k), … sonli ketma-ketligi b songa intilsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M₀ dagi limiti deyiladi va

yoki
ko`rinishda yoziladi.
Xususan, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: har qanday x₀ songa intiluvchi argument qiymatlari x₁, x₂, …, x_k, … sonli ketma – ketligi uchun, bu yerda x_k є V, x_k ≠ x₀ (k = 1, 2, 3, …), funksiya qiymatlari f (x₁),  f (x₂),  …,  f (x_k),  … sonli ketma – ketligi b songa intilsa, b soni f (x) funksiyaning  x → x₀ dagi limiti deyiladi va ko`rinishda yoziladi.Funksiya limiti Koshi yoki ε – δ tilida quyidagicha ta`riflanadi:
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M₀ nuqtaning δ atrofi S_δ(M₀) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є S_δ(M₀) ∩ V,  M ≠ M₀ nuqtalar uchun |f (M) - b| < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M₀ dagi limiti deyiladi.
Xususiy holda, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: Har qanday ε > 0 son uchun shunday bir δ > 0 son tanlash mumkin bo`lsaki, V to`plamga tegishli va 0 < |x - x<sub>0</sub>| < δ munosabatlarni qanoatlantiruvchi har bir x uchun |f (x) – b| < ε tengsizlik bajarilsa, b soni f (x) funksiyaning x → x<sub>0</sub> dagi limiti deyiladi (1-rasm).
Yuqorida keltirilgan ta`riflardan birini qo`llab, masalan,

1. 
   , 2) yoki 3) mavjud emasligini isbotlash mumkin.
   

1-rasm.
Quyida sanab o`tiladigan va ajoyib limitlar nomini olgan limitlar ham ta`riflar asosida isbotlanadi.

1. 
   (1-ajoyib limit asosiy shakli).
   

2. . 3. . 4. .

5. . (2-ajoyib limit asosiy shakli).
6. . 7. .
8. . 9. .

Limitga ega funksiyalar o`zlarining quyidagi xossalari bilan xarakterlanadi:

1) y = f (M) funksiya M → M₀ da limitga ega bo`lsa, ushbu limit yagonadir;
2) y = f (M) funksiya M → M<sub>0</sub> da chekli limitga ega bo`lsa, M ₀ nuqtaning δ atrofi S_δ(M₀) mavjudki, S_δ(M₀) ∩ V  to`plamda f (M) funksiya chegaralangan bo`ladi.
2. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar.
Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya biror V = (a; ∞) nurda aniqlangan bo`lsin (2-rasm). Har qanday ε > 0 son uchun shunday K > 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha | x | > K munosabatni qanoatlanti-ruvchi x  lar uchun |f (x) – b | < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, b soni f (x) funksiyaning x → ∞ dagi limiti deyiladi.


2 – rasm.

y = f (x) funksiyaning x → - ∞ dagi limiti ham yuqoridagidek ta`riflanadi.

Masalan, 1) , chunki x → + ∞ da → 0;
2) , chunki x → - ∞ da → + ∞ ;
3) .

Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x < x<sub>0</sub>  da aniqlangan bo`lib, x₀ nuqta aniqlanish sohasining quyuqlanish nuqtasi bo`lsin (3–rasm).

Har qanday ε > 0 son uchun δ₁ > 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`l-saki, x₀–δ₁< x < x₀ shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun |f (x) –b₁| < ε tengsizlik bajarilsa, b₁ = f (x₀–0) son f (x) funksiyaning x→x₀ da chapdan limiti deyiladi va ko`rinishda yoziladi.
y = f (x) funksiyaning x → x<sub>0</sub>  da o`ngdan limiti ham shunga o`xshash aniqlanadi va ko`rinishda yoziladi (3 – rasm ).

3-rasm.
Masalan, 1) ; 2) .

y = f (x) funksiyaning x₀ nuqtada limiti, funksiya shu nuqtada chapdan va o`ngdan limitlarga ega bo`lib, f (x₀–0) = f (x₀+0) tenglik bajarilganda, mavjud bo`ladi.
3. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar.
Limitlar haqidagi asosiy teoremalar quyidagilardan iborat:
1. Agar y = f (M) = C  (C – o`zgarmas) bo`lsa, u holda .

2.  mavjud bo`lsa, u holda ixtiyoriy k son uchun

3. Agar va mavjud bo`lsa,

a)  ham mavjud bo`ladi va
.

b) mavjud bo`ladi va

c) o`rinli bo`lganda, ham mavjud bo`ladi va .

d) M₀ nuqtaning biror atrofida f (M) ≤ g(M) munosabat bajarilsa, u holda tengsizlik ham o`rinli bo`ladi.
Limitlar haqidagi teoremalar bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya li-mitlarini hisoblashda qo`llaniladi.

Masalan,

.
Agar bo`lsa, α(M) funksiya M → M<sub>0</sub> da cheksiz kichik funksiya deyiladi.
Xususan, agar bo`lsa, bir o`zgaruvchili α(x) funksiya x → x<sub>0</sub> da cheksiz kichik deb ataladi.
Masalan, funksiya x → -1 va x → ∞ larda cheksiz kichik funksiyadir.
Cheksiz kichik funksiya o`zining quyidagi xossalariga ega:
1) M → M₀ da α(M) cheksiz kichik funksiya bo`lib, f (M) = b + α(M) bo`lganda, mavjud va aynan b ga tengdir;
2) chekli sondagi va har biri M → M₀ da cheksiz kichik funksiyalarning yig`indisi yoki ko`paytmasi cheksiz kichik funksiyalardir.
3) M → M₀ da cheksiz kichik funksiyaning, M₀ nuqtaning biror atrofida chegaralangan funksiyaga ko`paytmasi, cheksiz kichik funksiyadir.
Agar (yoki - ∞) bo`lsa, γ(M) funksiya M → M₀ da cheksiz katta funksiya deyiladi.
Xususan, agar (yoki - ∞) bo`lsa, γ(x) funksiya x → x<sub>0</sub> da cheksiz katta bir o`zgaruvchili funksiya deb ataladi.
Masalan, funksiya x → 0 da cheksiz kattadir.
4. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Funksiyalarni taqqos-lash.
Bir o`zgaruvchili f (x) va g(x) funksiyalar berilgan bo`lib, x ≠ x₀ da f (x) ≠ 0, g(x) ≠ 0 va mavjud bo`lsin. U holda, quyidagi h hollarning biri o`rinli bo`ladi:
a) Agar l ≠ 0 va l ≠ ∞ bo`lsa, f (x)  va  g(x) funksiyalar x → x₀ da teng tartibli funksiyalar deyilib, f (x) = 0^*(g(x)) ko`rinishda yoziladi;
b
S
) Agar l = 1 bo`lsa, f (x)  va g(x) funksiyalar x → x₀ da ekvivalent yoki teng kuchli deyilib, f (x) g(x) yozuvda ifodalanadi;
c) Agar l = 0 bo`lsa, f (x) funksiya x → x<sub>0</sub> da g(x) funksiyaga nisbatan yuqori tartibli kichik deyiladi va f (x) = o(g(x)) yozuvda yoziladi;
d) Agarda l = ∞ bo`lsa, unda g(x) = o(f (x)).
Masalan: 1. x → 0 da tg(2x) = 0*(5x), chunki .
2. x → 0 da x³ = o(x²), chunki .
3. x → ∞ da x² = o(x³), chunki .
4
S
. x → 0 da tg 2x sin 2x, chunki .
Agar x → x₀ da α(x) funksiya cheksiz kichik bo`lsa, quyidagi teng kuchliliklar (ekvivalentliklar) o`rinli:
1
S

S

S
. sin α(x) α(x); 2. tg α(x) α(x); 3. arcsin α(x) α(x).
4
S

S
. arctg α(x) α(x); 5. log_a [1 + α(x)] α(x) log_ae.
6
S

S

S
. ln[1 + α(x)] α(x); 7. 1 – cos α(x) .
8
S

S
. a^α(x) - 1 α(x) lna; 9. e^α(x) - 1 α(x).
1
S

S
0. [1 + α(x)]ⁿ - 1 n α(x); 11.  .
Yuqorida keltirilgan ekvivalentliklardan funksiyalar limitini hisob-lashda foydalanish maqsadga muvofiq.

Masalan, .

Kompleks son va uning algebraik, trigonometrik, ko’rsatkichli shakllari hamda ular ustida amallar.
Fan va amaliyotning rivojlanishi haqiqiy sonlar to’plamining yetarli emasligini ko’rsatdi. Masalan, tashqi ko’rinishi juda sodda , tenglamalar haqiqiy sonlar to’plamida yechimga ega emas. Demak, istalgan algebraik tenglamani yyechish uchun haqiqiy sonlar to’plami yetarli bo’lmay qoladi.
Bundan tashqari elektronikada va fizikaning turli bo’limlarida murakkab tabiatli kattaliklar qaraladiki, ularni haqiqiy sonlar tushunchasi qamray olmaydi. Shu sababli sonlar tushunchasini kengaytirish ehtiyoji yuzaga keldi.
1.Ta’rif. va haqiqiy sonlar, esa( )qandaydir bir simvol bo’lsa, (1)
ifodaga kompleks son (algebraik shakli) deyiladi, bunda quyidagi shartlar qabul qilingan deb hisoblanadi:
1) ; va ; ;
2) faqat , bo’lgandagina , bo’ladi;
3) ;
4) .
kompleks sonda , bo’lsa, mavhum son deyiladi. son mavhum birlik deyiladi . va sonlar kompleks sonning mos ravishda haqiqiy va kompleks qismi deyiladi va , ko’rinishda belgilanadi . bulsa, - haqiqiy son, agar bo’lsa, sof mavhum son bo’ladi. Mavhum qismlarining ishorasi bilangina farq qiluvchi va kompleks sonlar qo’shma kompleks sonlar deyiladi .
Agar va ikkita kompleks son berilgan bo’lsa, ular ustida algebraik amallar quyidagicha bajariladi:




Kompleks sonlarni darajaga ko’tarish ikkihadni darajaga ko’tarish
kabi bajariladi, sonnining darajalari quyidagi formulalar bo’yicha aniqlanadi. va h.k.
Umuman, , . (3)

1-misol. va sonlarning yig’indisi va ayirmasini toping

Yechish. (2) formulaning birinchi va ikkinchisidan quyidagilarni topamiz:

,
.
2-misol. va kompleks sonlar ko’paytmasini toping.
Yechish. (2) formulaga ko’ra quyidagini hosil qilamiz:

Har bir kompleks son geometrik jihatdan koordinatalar tekisligining nuqtasi yoki vektori bilan tasvirlanadi.
Kompleks son tasvirlanadigan tekislik kompleks tekislik deyiladi.
kompleks soniga mos keluvchi nuqtaning holatini va qutb koordinatalari bilan ham aniqlash mumkin.
Bunda koordinatalar boshidan nuqtagacha bo’lgan masofaga, soni kompleks sonning moduli deyiladi va bilan belgilanadi; vektorning o’qining musbat yunalishi bilan hosil qilgan burchak kompleks sonning argumenti deyiladi va kabi belgilanadi.
kompleks son uchun quyidagi formula o’rinlidir:
(4)
bunda ning qiymati shartni qanoatlantiradi.
3-misol. kompleks sonning moduli va argumentini toping.
Yechish. bo’lganligi uchun tenglamadan argumentni topamiz:
.
Shunday qilib,
Kompleks sonning ko’rinishdagi ifodasi kompleks sonning algebraik shakli deyiladi.
Kompleks sonning ko’rinishdagi ifodasi uning trigonometrik shakli deyiladi.
Trigonometrik ko’rinishda berilgan kompleks sonlar ustida amallar quyidagicha bajariladi :

(5)

(6)
(7)

, (8)
bunda k=0,1,2,..,(n-1).
(7) va(8) formulalarga Muavr formulalari deyiladi.
Kompleks sonning ko’rsatkichli shakli

ko’rinishda bo’lib,

(9)
(9) formulaga Eyler formulasi deyiladi.

4-misol. sonni sakkizinchi darajaga ko’taring.

Yechish. Berilgan sonni trigonometrik formada tasvirlaymiz:
Muavr formulasiga ko’ra quyidagini hosil qilamiz:

2. Algebraning asosiy teoremasi.
Ko’phadlarning ildizlari bilan ish ko’rilganda, har qanday ko’phad ham ildizga ega bo’laveradimi? degan savol tug’uladi. Koeffitsientlari haqiqiy bo’lib, haqiqiy ildizga ega bo’lmagan ko’phadlar mavjudligi ma’lum, ana shunday ko’phadlardan biridir. Koeffitsientlari ixtiyoriy kompleks (haqiqiy koeffitsientli ko’phadlar bularning xususiy holidir) sonlardan iborat bo’lgan ko’phadlar ichida ham ildizga ega bo’lmaganlari mavjudmi degan savol tug’iladi? SHunday ko’phadlar majud bo’lganda edi, kompleks sonlar sistemasini kengaytirishga to’g’ri kelar edi. Ushbu kompleks sonlar algebrasining asosiy teoremasi o’rinlidir.
Teorema. Darajasi birdan kichik bo’lmagan, istalgan son koeffitsientli, har qanday ko’phad hech bo’lmaganda , umumiy holda bitta kompleks ildizga ega bo’ladi.
Bu teorema matematikaning eng katta yutuqlaridan biri hisoblanadi va fanlarning xilma-xil sohalarida tatbiq qilinadi. Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
Natija. - darajali istalgan kompleks koeffitsientli ko’phad, xuddi ta kompleks ildizga ega bo’ladi. Bunda ildizlar necha karrali bo’lsa, xuddi shuncha marta sanaladi.
Algebraning asosiy teoremasi bo’lganda ham o’rinli, chunki 0- darajali ko’phad ildizlarga ega emas. Algebraning asosiy teoremasi darajasi aniqlanmagan nolg’ ko’phadgagina (nolg’ soniga) qo’llanishi mumkin emas.
3. Kubik tenglama va Kardano formulasi.
1). Ushbu tenglama
(10)
kubik tenglama deyiladi. lar (10) tenglamaning ildizlari bo’lsa, tenglamani

ko’rinishda yozish mumkin. Bundan

bo’ladi.

tenglama almashtirish yordami bilan

ko’rinishga keltiriladi. tenglama ushbu

(11)

Kardano formulasi bilan yechiladi:

1) bo’lsa, u holda bo’ladi, bunda va lar va ildizlarning haqiqiy qiymatlari;

2) bo’lsa , u holda bo’ladi;

3) bo’lsa , u holda bo’ladi, bundagi
.
5-misol. tenglamaning yechimlari

ifodalarni tuzib, tekshirilsin.
Yyechish. berilgan tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:


ifodalarning qiymatlarini tekshiramiz: