Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

Darbu yig’indilari. funksiya oraliqda aniqlangan bo’lib, shu oraliqda chegaralangan bo’lsin:
.
oraliqda biror

bo’laklashni olaylik. Bu funksiyaning aniq chegaralari

Ravshanki, ixtiyoriy uchun
bo’ladi. Endi va sonlarni oraliqning uzunligi
ga ko’paytirib quyidagi

yig’inilarni tuzamiz.
6—ta’rif. Ushbu

yig’indilar mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig’indilari deb ataladi.
Darbu yig’indilari, funksiyaga hamdaP bo’laklashga bog’liq:

va har doim

bo’ladi.
tengsizliklarni ga ko’paytirib topamiz:
.
Keyingi tengsizliklardan esa

tengsizliklar kelib chiqadi. Demak,

Shunday qilib, funksiyaning integral yig’indisi har doim uning Darbu
yig’indilari orasida bo’lar ekan.
munosabatdan yana bitta xulosa chiqarish mumkin: nuqtani tanlab olish hisobiga ni shuningdek, M_k qiymatlarga har qancha yaqin keltirish mumkin. Bundan esa Darbuning quyi va yuqori yig’indilari berilgan bo’laklash uchun integral yig’indining mos ravishda aniq quyi hamda aniq yuqori chegaralari bo’lishi kelib chiqadi:
.
Aniq chegaralar hossalaridan foydalanib topamiz:
.
Ravshanki,
.
Natijada

bo’ladi.
Demak, uchun quyidagi

tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Bu esa Darbu yig’indilarining chegaralanganligini bildiradi.
1—xossa. Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u istalgan oraliqda ham integrallanuvchi bo’ladi.
2—xossa . Agar funksiya hamda oraliqlarda integral-lanuvchi bo’lsa, u holda funksiya oraliqda ham integrallanuvchi va ushbu

formula o’rinli bo’ladi.
3—xossa. Agar funksiya da integrallanuvchi bo’lsa, u holda ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va ushbu

formula o’rinli bo’ladi.
4—xossa. Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi va bo’lsa, u holda funksiya ham shu oraliqda integralla-nuvchi bo’ladi.
5—xossa. Agar va funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya ham shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi va ushbu

formula o’rinli bo’ladi .