Bir o’zgaruvchi ko’phadlarni bo’lish. Ko’phadlarni qoldiqli bo’lish. Reja

1-misol. P(x)=x³+2x²-1 ko‘phadni Q(x)=x²+x+2 ko‘phadga bo‘lamiz.

Bo‘linmani S(x)=c₀x+ c₁ ko‘rinishda qidiramiz. Q(x) ni darajasi 2ga P(x) ning darajasi 3 ga teng, demak S(x)ning darajasi birga teng bo‘-lishi kerak, qoldiqni R(x)=d₀x+d₁ ko‘rinishda qidiramiz. (1) tenglikni yozamiz: x³+2x²-1=(x²+x+2)(c₀x+c₁)+d₀x+d₁.

Bundan ko‘rinadiki, c₀=1 bo‘lishi kerak. Qavslarni ochib, o‘xshash-larini keltirib x³+2x²-1=x³+(1+c₁)x²+(2+c₁+d₀)x+(2c₁+d₁) tenglikni hosil qilamiz. Mos koeffitsiyentlarni tenglashtirib,

sistemaga ega bo‘lamiz, uni yechib c₁=1, d₀=-3, d₁=-3 ni topamiz. Bo‘-linma S(x)=x+1 va qoldiq R(x)=-3x-3 ekan.

“Burchakli bo‘lish” usulini misolda ko‘ramiz.

2-misol. Ushbu ifodaning butun qismini ajratamiz. Quyidagi bo‘-lishni bajaramiz:
4 x²-15ax³+20a²x²+5a⁴ x²-2ax+4a²

4x²-8ax³+16a²x² 4x²-7ax-10a²

-7ax³+4a²x²+5a⁴

-7ax³+14a²x²-28a³x

-10a²x²+28a³x+5a⁴

-10a²x²+20a³x-40a⁴

8a³x+45a⁴
Butun qism 4x²-7ax-10a² bo‘lib, qoldiq 8a³ x+45a⁴ ga teng ekan.

Berilgan P(x) va Q(x) ko‘phadning eng katta umumiy bo‘luvchisini topish uchun Yevklid algoritmidan foydalanish mumkin. P(x) ni Q(x) ga bo‘lib, qoldiq R₁(x) ni hosil qilamiz, Q(x) ni R₁(x) ga bo‘lib R₂(x) qol-diqni va hokazo hosil qilamiz. Qoldiqlarning darajalari pasayib boradi va oxiri 0 ga teng qoldiqqa ega bo‘lamiz. Undan oldingi 0 dan farqli, qoldiq berilgan ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi bo‘ladi.