|
Bir jinsli ellipsoidning tashqi patensiali
Bir jinsli ellipsoidning kuch funktsiyasini topishga o'tishdan oldin, tortilgan nuqta ellipsoiddan tashqarida joylashganida, biz birinchi navbatda uchta yordamchi teoremani ko'rib chiqamiz, ulardan biri Ayvari, ikkinchisi Laplas va uchinchisi Makloringa bog'liq.
1. Ikki konsentrik, bir xil joylashgan ellipsoidlar E va E' mos ravishda a, b, c, a’, b’, c’ yarim o'qlari bilan berilgan bo'lsin. Tasavvur qilaylik, ikkala ellipsoid ham zichligi ρ=const bo'lgan tortuvchi moddalar bilan to'ldirilgan. Ellipsoid E yuzasining qandaydir aniq P(x, y, z) nuqtasini va E’ ellipsoid yuzasining unga mos keladigan P'(x’, y’, z') nuqtasini ko'rib chiqaylik. Keyin Ikkala nuqtaning koordinatalari munosabatlar bilan bog'liq
,
,
,
Buni aniqlab bo‘lgach, P’ nuqtada joylashgan birlik massali moddiy zarrachaga E ellipsoidning ta’sir etayotgan tortishishini E’ ellipsoidining P nuqtada joylashgan bir xil massali zarrachaga ta’sir etayotgan tortishish kuchi bilan solishtiramiz. Buning uchun biz Gauss formulalari bo'yicha P va P’ nuqtalariga ta'sir qiluvchi kuchlarning tarkibiy qismlarini hisoblaymiz ular
X(P’)=-fρ
Har bir E nuqtaga E’ ning yagona nuqtasi mos kelganligi sababli, E’dagi M’ hozirgi nuqta E ning hozirgi M nuqtasiga to’g’ri keladi deb taxmin qilishimiz mumkin.
,
,
,
P va P’ nuqtalari ham bir-biriga to’g’ri kelganligi sababli, Ayvari teoremasi bilan isbotlangan.
Endi e’tiborga olamizki, – E sirtgacha bo’lgan maydonning yOz koordinata tekisligiga proyeksiyasi. Shunday qilib, biz =dy, dz qo’yishimiz va yozishimiz mumkin
X(P’)=-2fρ
bunda integrallash yOz tekislik boʻyicha E sirtning kesmasi boʻlgan ellipsning E maydoniga choʻzilgan. Xuddi shunday
X’(P)=-2fρ
Shunday qilib
X’(P)=-2fρ
Shu yerdan xulosa chiqaramiz
X’(P)= X(P’)
Y’(P)= Y(P’)
Z’(P)= Z(P’)
Shunday qilib, quyidagi teorema orqali isbotlangan.
Ayvari
Ayvari teoremasi. Ikki ellipsoidning mos nuqtalarida joylashtirilgan bir xil massali zarrachalarga ta’sir etuvchi tortishish kuchlarining bir xil o’qi bo’ylab komponentlari ellipsoidlarning ushbu o’qqa perpendikulyar bo’lgan maydoni va asosiy bo’limlari sifatida bog’langan.
2. Biz ikkinchi yordamchi teoremaga o’tamiz, uni hozirgina isbotlangan Ayvari teoremasining natijasi deb hisoblash mumkin.
Buning uchun mos ravishda a1, b1, c1, a2, b2, c2 yarim o’qlari bo’lgan ikkita konsentrik o’xshash joylashgan ellipsoid E1 va E2 ni ko’rib chiqamiz. Tasavvur qiling E1 ellipsoidi zichligi 1 bo’lgan bir hil tortuvchi materiya bilan, E2 ellipsoidi esa zichligi 2 materiya bilan to’ldirilgan
Ikkala ellipsoiddan tashqarida yotgan P’(x’, y’, z’) nuqtani olaylik va E’ yarim o’qlari a’, b’, c’ bu nuqtadan o’tuvchi va ellipsoidlarga bog’liq ellipsoid bo’lsin, masalan E₁ va E2
E1 va E2 da E’ ning P’ nuqtasiga mos keladi
, ; , ; ,
va
, ; , ; ,
Bizda bor
= ; = ; =
X1(P’)= X’1(P1) ; X2(P’)= X’2(P2)
Ikkala ifodani bo’lib yuborsak
X1(P’): X2(P’)= X’1(P1) : X’2(P2)
Boshqa tarafdan
X’1(P1) : X’2(P2) = 1 a1 : 2a2
va
X1(P’) : X2(P’) = 1 a1b1c1 : 2 a2b2c2 = m1 :m2
Laplas teoremasi.
Birjinsli ellipsoidlar tashqi nuqtani kuch tasirida o’aro tortadi va kattaliklari massalariga proporsionaldir
Oxirgi yordamchi teorema : 2 ta bir jinsli elipsoidlar E1 va E2 ning tashqi kuch funksiyalari U1 va U2 bilan belgilaymiz u holda Laplas teoremasi orqali quyidagicha yozishimiz mumkin
Lekin kuch funksiyasining tashqi fazodagi xossalariga ko‘ra, P nuqta cheksizlikka uzoqlashganda U1 va U2 yo‘qoladi. Shuning uchun tenglikning o'ng tomonidagi doimiy nolga teng va
U1 : U2 = m1 :m2
Maklaurin teoremasini beradi:
Maklaurin teoremasi. Ikkita bir hil ellipsoidlarning tashqi nuqtadagi kuch funksiyalari ushbu ellipsoidlarning massalari bilan bog liq.
3. Endi a, b yarim o’qli bir jinsli ellipsoid E ning kuch funksiyasi ifodasini olish qiyin emas. Massa birligining P nuqtasi E ellipsoiddan tashqarida bo’lganda, ya’ni.
+ + > 1
E’ ellipsoidining yarim o’qlari, ma’lumki, formulalar bilan aniqlanadi.
a’2 = a2 ; b’2 = b2 + ...
Tasavvur qilaylik, E’ ellipsoidi zichligi ρ ga teng bo’lgan tortuvchi materiya bilan to’ldirilgan. P nuqta E’ sirtida joylashganligi sababli, uni E ning tashqi va ichki nuqtasi sifatida bir xil huquq bilan qarash mumkin. P nuqtani E’ uchun tashqi deb hisoblab, biz Maklorin teoremasini qo’llashimiz va yozishimiz mumkin.
U(P): U’ (P)=m : m’
Bu yerda U’(P) E’ ellipsoidning kuch funksiyasini bildiradi va m’ massasi .Endi P nuqtani E’ ellipsning ichki ekanligini hisobga olsak, U’(P) ni formula bo’yicha aniqlashimiz mumkin.
Bu qiymatni U’ (P) ni oldingisiga almashtirib
Va bu bir jinsli ellipsoid kuch funktsiyasining klassik ifodasidir
Yani: Ellipsoidni tashqi nuqtaga, Dirichlet formulasi deb ataladi. Endi oddiy differensiallash orqali ellipsoid tashqi P nuqtani tortadigan kuchning tarkibiy qismlarini olamiz:
Bundan tashqari
Bu yerda differensiallanishlar 𝛌 miqdor o‘zgarmas deb qabul qilingan holda amalga oshirilsa yuqoridagi formulalarni quyidagi ko‘rinishda keltiramiz
Do'stlaringiz bilan baham: |
