Berdaq nomidagi qoraqolpoq davlat universiteti

Bitiruv malakaviy ishning dolzarbligi: Ehtimollar nazariyasi fanining asosiy vazifalaridan biri: tasodifiy hodisalar ehtimollarini hisoblashdir. Bu ehtimollarni hisoblashda esa ko‘pgina hollarda Bernulli sxemasidan foydalanish yaxshi samara beradi. Shu maqsadda Bernulli sxemasi va uning ning turli xil umumlashmalarini o‘rganish dolzarb masalalardan biri hisoblanadi.

I. Umumlashgan Bernulli sxemasi

Sinovlarning ikkitadan ortiq natijalari haqida so‘z yuritganimizda Bernulli sxemasini umumlashtirishga to‘rg‘i keladi. Bu masalani umumiy holini quyida qaraymiz:

Har bir sinov natijasida s ta hodisalardan biri mos ravishda ehtimollar bilan yuz berib, shu bilan birga bo‘lsin. Sharoitni o‘zgartirmagan holda tajribani n marta takrorlaymiz. Bunda hodisa rosa marta, hodisa rosa marta, .... , hodisa rosa marta ( ) yuz berish ehtimolini topish talab qilinadi. Bu ehtimolni orqali belgilaymiz.

n ta sinovning mumkin bo‘lgan biror natijasini birinchi, ikkinchi, ...., sinovlarda qaysi hodisa yuz berganini ko‘rsatuvchi harflar kombinatsiyasi ko‘rinishida yozamiz. Masalan, kombinatsiya birinchi sinovda hodisa, ikkinchi sinovda hodisa, uchinchi sinovda hodisa va to‘rtinchi sinovda hodisa yuz berganini bildiradi va hokazo.

Bizni qiziqtirayotgan hodisaga, masalan, “bosh” kombinatsiya deb ataluvchi ushbu

...

kombinatsiya qulaylik tug‘diradi. Bu kombinatsiyaning ehtimoli ehtimollarni ko‘paytirish teoremasiga ko‘ra ga teng. Ko‘rsatilgan “bosh” kombinatsiyadan tashqari, kerakli hodisaga qulaylik tug‘diruvchi “qo‘shimcha” kombinatsiyalar ham mavjud. Bular shunday kombinatsiyalarki, ularda hodisa albatta birinchi galda bo‘lmasa ham, lekin rosa marta, hodisa albatta hodisadan keyin bo‘lmasa ham, lekin rosa marta yuz beradi va hokazo. Bunda ,..., hodisalarning har biri qancha lozim bo‘lsa, shuncha marta yuz berishigina muhimdir. Bunday “qo‘shimcha” kombinatsiyalarning har birining ehtimoli “bosh” kombinatsiyaning ehtimoli kabi ga tengligi ravshan. n ta sinov natijasida hodisa rosa marta, hodisa rosa marta, ... , hodisa rosa marta yuz berishidan iborat bo‘lgan hodisa yuqorida tavsiflangan “bosh” kombinatsiyaning yoki “qo‘shimcha kombinatsiyalardan ba’zilarining ro‘y berishidan iborat xususiy hollarga ajraladi. Bu barcha xususiy hollar jufti-jufti bilan birgalikda bo‘lmaganligi uchun izlanayotgan ehtimolni topishda qo‘shish teoremasini qo‘llash mumkin. Yuqorida ko‘rsatilganidek, har bir xususiy holning ehtimoli ga teng. Endi bu xususiy hollar sonini aniqlaymiz.

Bizni qiziqtirayotgan hodisa ajraladigan barcha mumkin bo‘lgan xususiy hollarsoni n ta harfdan tuzish mumkin bo‘lgan barcha kombinatsiyalardan iborat bo‘lib, ularning har birida hodisa rosa marta, hodisa rosa marta, ... , hodisa rosa marta takrorlanadi, ya’ni u takrorlanuvchi o‘rin almashtirishlar sonidir, bunday o‘rin almashtirishlar soni

ga teng.

Shunday qilib, izlanayotgan ehtimol:

(1)

Bernulli sxemasi uchun hosil qilingan formula yuqoridagi (1) formulaning hususiy holi ekanligini ko‘rish qiyin emas. Haqiqatan ham, s=2 bo‘lsin, ya’ni sinovlarning mumkin bo‘lgan natijalari , ularning ehtimollari esa bo‘lsin deb qabul qilamiz, u holda yuqorida isbot qilingan (1) formula n ta sinovda hodisa rosa marta, hodisa rosa marta yuz berish ehtimolini beradi:

Biroq mumkin bo‘lgan natijalar ikkita bo‘lgan holda , ya’ni agar =p bo‘lsa u holda =1-p=q. So‘ngra =m bo‘lganda =n- =n-m ni hosil qilamiz. Oxirgi formulaga bu qiymatlarni olib borib qo‘ysak,

(2)

formulani hosil qilamiz. Bu esa Bernulli formulasining o‘zginasidir.

ehtimollarni binom yoyilmasidagi ayrim qo‘shiluvchilar sifatida hosil qilish mumkin edi. Shunga o‘xshash, ehtimollarni ham polinomning polinomial teorema bo‘yicha yig‘indiga yiyilmasidagi qo‘shiluvchilar sifatida hosil qilish mumkin. Haqiqatan ham, polinomial teoremaga ko‘ra:

tenglikni hosil qilamiz. (1) formula shu sababli polinomial formula deyiladi.

1. 
   va (2) ehtimollarni boshqacharoq yo‘l bilan ham hosil qilish mumkin. n ta binom ko‘paytmasini tuzaylik:
   

(3)

U holda (2) ehtimollar (3) funksiyani parametrning darajalari bo‘yicha yoyilmasidagi koeffitsientlar sifatida hosil qilinadi. parametrning darajasi bo‘yicha yoyilmasidagi koeffitsientlari ehtimollarni beruvchi funksiya ehtimollarni hosil qiluvchi funksiya deyiladi. polinomial ehtimollar uchun hosil qiluvchi funksiya ushbu

(4)

Ko‘rinishida yozilishi mumkinligi yuqorida aytilganlardan ravshandir.

Misol. Nishon 3 ta doiradan iborat. Nishonga otilgan o‘qning I, II, III doiralarga tegish ehtimollari mos ravishda =0,15, =0,22, va =0,13 ga teng. O‘nta uzilgan o‘qdan I doiraga 6 ta, II doiraga 3 ta, III doiraga 1 ta o‘q tegish ehtimolini toping.

Yechish. Bu holda mumkin bo‘lgan natijalar soni s=4 ta, chunki otilgan o‘qning nishonga tegmaslik ehtimoli ham mavjud. =0.5 bo‘ladi. Masala shartiga ko‘ra, n=10, =6, =3, =1, =0 deb olishimiz lozim. Endi (1) formulaga ko‘ra quyidagini hosil qilamiz:

Misol. Korxonada ishlab chiqarish jarayonida diametri belgilangan normadan kichik, katta yoki normada bo‘lish ehtimollari mos ravishda 0,05, 0,1, 0,85 ga teng. Umumiy guruhdan tavakkaliga 100 ta detal ajratilgan. Bu detallar orasida diametri belgilangan normadan kichik bo‘lgan 5 ta va diametri belgilangan normadan katta bo‘lgan 10 ta detal bo‘lish ehtimolini toping.

Yechish. Bu holda , , , , shuning uchun (1) formulaga asosan quyidagini hosil qilamiz:

Bu yerdagi hisoblashlarni bajarishda logorifm jadvallaridan va faktoriallar jadvallaridan foydalanish qulay. Tegishli qiymatlarni ifodaga olib kelib qo‘yib

yechimni hosil qilamiz.