B. I. Abdullaev, J. U. Xujamov, R. A. Sharipov m m a a

Teorema  2.2.  Agar 

{ }

n

x

 

va 

{ }

n

y

 

ketma-ketliklar  yaqinlashuvchi  bo‘lib, 

n

N

 

  uchun 

0

n

y 

  va  lim

0

n

n

y



   bo‘lsa, 

n

n

x

y



























 

ketma-ketlik  ham 

yaqinlashuvchi hamda  

lim

lim

lim

n

n

n

n

n

n

n

x

x

y

y









 

17 

 

formula  o‘rinli  bo‘ladi 

 

Keltirilgan teoremalarni isbotini keltirmadik. Uni mustaqil ravishda [1], [11] 

adabiyotlardan o‘rganishingizni tavsiya qilamiz.   

Endi  ketma-ketliklar  nazariyasining  eng  ajoyib  misollarini  isbotlari  bilan 

keltiramiz. 

 

4-misol. 

!

n

n

a

x

n



(

0)

ô a 

  ketma-ketlikni    limiti  0  ga  teng    bo‘lishini  

isbotlang. 

 

Isbot. 

1

1

!

(

1)!

1

n

n

n

n

x

a

n

a

x

n

n

a















.    Agar 

[ ]

1

n

a



   bo‘lsa,  u  holda 

1

n

n

x

x





  bo‘lib, 

{ }

n

x

  ketma-ketlik  monoton  kamayuvchi  va  quyidan 

(

0)

n

x 

 

chegaralangan.  Yuqorida  keltirilgan 

0

4   xossaga  ko‘ra  lim

n

n

x

c



   mavjud  va 

chekli. 

0

5  xossaga ko‘ra 

1

lim

n

n

x

c





  o‘rinli bo‘ladi. Bundan  

1

lim

lim

1

n

n

n

n

a

c

x

x

n

































. 

1-teoremaga asosan 

lim

lim

lim

0

0

1

1

n

n

n

n

n

a

a

x

x

c

n

n



















  

















 

Demak, 

lim

0

!

n

n

a

n





 bo‘ladi.  

5-misol ([10]). Ushbu  

...

n

x

a

a

a

a











    (

0

a 

) 

ketma-ketlikning limitini toping.  

Yechish:  Har  qanday 

0

a 

  soni  uchun 

a

a

a





  tengsizlikni 

o‘rinli  bo‘lishini    e’tiborga    olsak,    istalgan 

n

N



  larda 

1

n

n

x

x





  tengsizlik   

bajariladi,  ya’ni 

{ }

n

x

  ketma-ketlik  monoton  o‘suvchi. 

1

a

a

a







  va 

1

1

a

a

a



 



  tengsizliklardan  foydalansak,  istalgan 

n

N



  larda 

1

n

x

a





  tengsizlikka  ega  bo‘lamiz. 

0

4   xossaga  ko‘ra  lim

n

n

x

c



   mavjud 

va chekli. 

0

5  xossaga ko‘ra, 

1

lim

lim

n

n

n

n

c

x

a

x

a

c

















. 

c

a

c



  tenglamadan  c  ni topsak,   

1

1

4

2

a

c







       bo‘ladi. 

6-misol.  Agar 

{ }

n

x

  ketma-ketlik 

1

1

2

n

n

n

x

x

x

A











 

(

2,

)

n

A



 

  

18 

 

rekurrent munosabat orqali berilgan bo‘lsa, 

2

lim

n

n

x

n



 ni toping. 

Yechish. 

Belgilash 

kiritamiz: 

1

n

n

n

x

x

a







. 

Bundan 

1

1

1

(

)

n

n

n

n

n

n

a

a

x

x

x

x

A



















  bo‘ladi.  Bu  esa 

{ }

n

a

  ketma-ketlik 

arifmetik  progressiya  ekanini  bildiradi.  Arifmetik  progressiyani  umumiy  hadi 

formulasiga asosan 

2

(

2)

n

a

a

n

A







 bo‘ladi. 

1

2

(

2)

n

n

x

x

a

n

A











 

1

2

2

(

3)

n

n

x

x

a

n

A













 

.  .  .  .  .  . .  .  .  .  .  . .  .  .  .  .  . 

3

2

2

x

x

a

A







 

Bu tengliklar hadlab qo‘shsak,  

2

2

(

1)(

2)

(

2)

2

n

n

n

x

x

n

a

A













 

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikka asosan 

2

1

lim

2

n

n

x

A

n





   bo‘ladi. 

7-misol. Istalgan 

0

1

x

 

 uchun  

2

1

ln(1

)

2

x

x

x



 

 

tengsizlik  o‘rinli bo‘lishini  isbotlang.  

Isbot. Funksiya  kiritamiz: 

2

1

( )

ln(1

)

2

f x

x

x

x





 

. 

Uni hosilasini hisoblaymiz. 

2

2

1

1

(1

)

'( )

1

.

1

1

1

x

x

f x

x

x

x

x







  









 

2

2

'( )

0

1

x

f x

x







 bo‘lgani uchun  ( )

f x  funksiya 

0

1

x

 

  da o‘suvchi va  

( )

(0)

0

f x

f



  

Bundan  esa  

2

1

ln(1

)

2

x

x

x



 

 tengsizlik  kelib  chiqadi. 

8-misol. Istalgan 

1

0

4



   da  

1

( )

1

,

2

x

f x

x

x





























 

funksiyani monoton o‘suvchi bo‘lishini isbotlang. 

Isbot. Funksiya hosilasini nomanfiy qiymatlar qabul qilishini isbotlaymiz. 

19 

 

'

1

1

1

( )

1

ln 1

1

x

f x

x

x

x

x















 

 













 





















 

















 









 

 



 

Agar 

2

1

1

1

ln 1

, (

2)

2

x

x

x

x





 

















 tengsizlikdan foydalansak, 

'

2

2

1

1

1

1

1

2 (1

)

1

( )

1

1

1

2

2 (

1)

x

x

x

x

f x

x

x

x

x

x

x

x x





































  























 



































































2

1

(1

2 )

1

1

0

2 (1

)

x

x

x

x

x

















 













































. 

bo‘ladi. Bu esa 

( )

f x



 funksiyani o‘suvchi ekanini bildiradi. 

1 – natija. 

,

2

x

n

N n







 bo‘lsa,  

1

1

1

, 0

4

n

n

x

n

















 











 

ketma – ketlik monoton o‘suvchi . 

2 – natija. Istalgan 

1

0

2



   da  

1

1

( )

1

,

1

2

x

f x

x

x



































 

funksiya monoton o‘suvchi bo‘ladi. 

3 – natija. Istalgan 

1

1

2



   da  

1

( )

1

,

1

x

f x

x

x





























 

funksiya monoton kamayuvchi bo‘ladi. 

Agar 

1,

(

)

x

n n

N

 





 qilib tanlasak, 

1

1

1

( )

1

n

n

x

f n

n













 









 

ketma – ketlik monoton kamayuvchi va quyidan chegaralangan 

(

0,

).

n

x

n

N





 

     Agar 

0,

(

)

x

n n

N

 





 qilib tanlasak, 

0

1

( )

1

n

n

x

f n

n











 









 

ketma – ketlik monoton o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan ( Istalgan 

n

N



 

larda  

1

2

1

1

1

1

1

1

4

1

n

n

n

n

















































































 ). 

20 

 

Shuning uchun 

0

4  hossaga ko’ra 

1

lim 1

n

n

n







  









 mavjud va chekli. 

4-Ta’rif.  Ushbu 

 

1

1

n

n

x

n



























 































  ketma  –  ketlikning  limiti  e   soni  deb 

ataladi: 

1

lim 1

n

n

e

n







 













. 

9 – misol. Ixtiyoriy 

n

N



 larda  

                                                   

4

!

n

e

n

n

n

 







 

 

                                                  (2.1) 

tengsizlik o‘rinli bo‘lishini isbotlang. 

Isbot.  (2.1)  tengsizlikni  matematik    induksiya  metodi    yordamida  

isbotlaymiz. 

1. 

1

n    va 

2

n    holatlarda  (2.1)  tengsizlikni  o‘rinli  ekanini  tekshirib  ko‘rish 

mumkin. 

2. (2.1) tengsizlik  n

k

  da (

2)

k 

 da to‘g‘ri deb faraz qilamiz, ya‘ni  

4

!

,

2

k

e

k

k k

k

 









 

 

 

tengsizlik o‘rinli. 

3. (2.1) tengsizlik 

1

n

k

 

 da ham o‘rinli bo‘linishini ko‘rsatamiz, ya‘ni 





1

4

1 !

1.

1

k

e

k

k

k





















 





 

Isbot.  





1

1

4

4

4

1

4

!

1

1 !

!

1

1

1

1

1

1

k

k

k

k

k

e

k

e

e

e

k

e

k

k

k

k

k

k

k

k

k





 

 

 







 





 



































































 















  





 





















4

4

1

4

!

1

1

1

k

k

e

k

k

e

k

k

k



 

 

 

 













  









 

Farazimizga ko‘ra istalgan 

2

k 

 larda  

4

!

k

e

k

k

k

 







 

 

 va 1-natijaga ko‘ra  

21 

 

1

4

1

1

k

e

k







 











