B. I. Abdullaev, J. U. Xujamov, R. A. Sharipov m m a a

A

B

C

D

M

B.I.Abdullaev, J.U.Xujamov, R.A.Sharipov 

 

M

M

A

A

T

T

E

E

M

M

A

A

T

T

I

I

K

K

A

A

D

D

A

A

N

N

 

 

O

O

L

L

I

I

M

M

P

P

I

I

A

A

D

D

A

A

 

 

M

M

A

A

S

S

A

A

L

L

A

A

L

L

A

A

R

R

I

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

...

...

n

n

n

n

x x

x

x

x

x





 



  









2

2

max MA

MB

MC

MD

a

b

a

b





























 

 

 

f b

f a

f c

b

a









1

( )

1

x

f x

x















 









lim

!

n

n

n

e

n





4

!

n

e

n

n

n

 







 

 

1

lim 1

n

n

e

n







 













1

2

1

2

,

1

1

x

x

y

y

x

y





















2

2

2

d

R

Rr





OH

OA OB

OC







2 

 

3 

 

 

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA 

MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI 

 

URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI 

“MATEMATIKA” kafedrasi 

 

 

B.I.Abdullaev, J.U.Xujamov, R.A.Sharipov 

 

 

MATEMATIKADAN 

OLIMPIADA MASALALARI 

Akademik litsey, kasb-hunar kollejlari uchun  

uslubiy qo‘llanma 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Urganch – 2016 

4 

 

Matematikadan olimpiada masalalari. Uslubiy qo‘llanma.  

 

Uslubiy  qo‘llanma  akademik  litsey  va  kasb-hunar  kollejlari  talabalari, 

umumiy  o‘rta  ta’lim  maktablarining  yuqori  sinf  o‘quvchilari  uchun  mo‘ljallangan 

bo‘lib,  matematika  fani  bo‘yicha  nostandart  masalalar  va  murakkab  masalalarni 

yechishga mo‘ljallangan masalalardan tashkil topgan. Har bir masalaga izox berilib 

yechimlari yoritilgan.  

 

 

 

Taqrizchilar:  

O.Allaberganov  -  UrDU  Pedagogika  fakulteti  “Boshlang‘ich  va 

maktabgacha  ta’lim  metodikasi”  kafedrasi  mudiri, 

dotsent. 

 

A.Atamuratov    -  UrDU  Fizika-matematika  fakulteti  “Matematika” 

kafedrasi dotsenti. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 

 

So‘z boshi 

Mustaqil  fikrlaydigan,  zamonaviy  ilm-fan  va  kasb-xunarlarni  puxta  egallay 

oladigan,  xalqimizga  fidoyi  yoshlarni  tarbiyalash  va  qo‘llab  quvvatlash 

barchamizni vazifamiz deb xisoblaymiz. 

Xalqaro  olimpiadalarda  yoshlarimiz  muvoffaqiyati  yildan-yilga  yaxshilanib 

bormoqda.  O‘zbekiston  yoshlari  2015-  yil  Taylantda  bo‘lib  o‘tgan  matematika 

bo‘uyicha  xalqaro  olimpiadada  bitta  kumush  va  bitta  bronza  medalni  qo‘lga 

kiritishdi.    Biz  yoshlarimizni  bundan    ham  yuqori  natijalarga  erishib,  davlatimiz 

obru  e’tiborini  ya’nada  oshiradi  degan  umiddamiz.  Agar  xar  bir  o‘qituvchi  o‘z 

vazifasini sidqidildan bajarib, yoshlarga ta’lim va tarbiya bersa, albatta yoshlarimiz 

xalqaro olimpiada g‘oliblari bo‘lishiga ishonamiz.    

Bizning  maqsadimiz  yosh  avlodni  layoqati,  qobiliyati,  iqtidorini  aniqlash, 

ochish  va  ularnig rivojlanishi  uchun  imkoniyat  yaratishdan  iboratdir.  Agar ta’lim 

dargoxida to‘garaklar tashkil qilinsa, o‘quvchilar o‘rtasida  matematik bellashuvlar 

o‘tkazilsa,  fanlar  bo‘yicha  sirtqi  olimpiadalarni  o‘tkazish  yo‘lga  qo‘yilsa, 

o‘quvchilarni  qiziqishi  oshadi,  qobiliyati  shakllanadi  va  o‘ziga  bo‘lgan  ishonch 

oshadi. 

Olimpiada  masalalari  elementar  matematikaning  eng  jozibador  masalalar 

to‘plamidir.  Olimpiada masalalari o‘quvchini chuqur fikrlashga, o‘z ustida ishlab, 

iqtidorini-malakasini  takomillashtirishga,  boy  fantaziyaga  ega  bo‘lishga,  qa’tiyatli 

inson bo‘lishga va qaror qabul qila olishga o‘rgatadi.    

Ma’lumki,  geometrik  masalalar  o‘quvchilarni  mantiqiy  fikrlash  bilan  birga 

o‘z  xulosalarini  asoslashga  undaydi.  Masalalarni  yechish  davomida  o‘quvchilar 

nazariy  bilimlarni  takrorlaydi  va  uni  amaliy  jihatdan  qo‘llash  ko‘nikmasiga  ega 

bo‘ladilar.    Qo‘llanmada  Dekart  koordinatalar  sistemasidan  foydalanib,  uni  turli 

geometrik  va  algebraik  masalalarga,  jumladan  uchburchak  yuzini  hisoblash, 

tengliklarni  isbotlash,  tenglamalarni  yechishga  tadbiq  qilishga  doir  misollar 

yechimi uslubiyati ko‘rsatilgan hamda aylanalar bilan bog‘liq murakkab masalalar 

yechimlari o‘rganilgan. 

Ushbu  ulubiy  qo‘llanma  ham  yoshlarning  matematikaga  qiziqishlarini 

uyg‘otishga  ozgina  bo‘lsa  ham  xizmat  qilsa,  mualliflar  o‘z  maqsadlariga  erishgan 

bo‘lar edilar.

 

 

 

 

 

6 

 

1-§. Koshi tengsizligi va uning tadbiqlari 

1

2

, ,...,

n

x x

x 

nomanfiy  sonlar  berilgan  bo‘lsin. 

1

...

n

x

x

x

n

 



  va 

1

2

...

n

n

x

x

x







  sonlar  mos  ravishda  berilgan  n  sonning  o‘rta  arifmetigi  va  o‘rta 

geometrigi  deyiladi.  Tabiiy  savol  tug‘iladi.  O’rta  arifmetik  va  o‘rta  geometrik 

orasida  qanday  munosabat    o‘rinli?  Bu  masala  dastlab  1821-yilda  fransuz 

matematigi Ogyusten-Lui Koshi tomonidan hal qilingan.  

Teorema  1.1.  (Koshi).  Agar   

1

2

, ,...,

n

x x

x 

ixtiyoriy  nomanfiy  sonlar 

bo‘lsa, u holda  ularning o‘rta geometrigi o‘rta arifmetigidan oshmaydi, ya’ni  

1

1

2

...

...

n

n

n

x

x

x

x

x

x

n

 





 



                                  (1.1) 

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. 

 

Koshi  tengsizligi  asosan  tengsizliklarni  o‘rinli  ekani  isbotlashda  keng 

qo‘llaniladi.  Bu  paragrafda  biz  Koshi  tengsizligini  soda  isbotini  va  bir  qancha 

murakkab masalalarga tadbig‘ini keltirdik. 

Tenglik  sharti  faqat 

1

2

...

n

x

x

x







  bo‘lganda  bajariladi.  (1.1) 

tengsizlikka  Koshi  tengsizligi  deyiladi.  Hozirgi  vaqtda  Koshi  tengsizligining 

o‘ndan ortiq isbotlari mavjud.  

Agar 

1

1

2

2

,

, ... ,

n

n

n

n

n

x

a

x

a

x

a







  deb  belgilash  kiritsak,  (1.1) 

tengsizlik  

            

1

2

1

2

n

n

n

n

n

a

a

a

a a

a

n



    



  



                          

(1.2) 

ko‘rinishga keladi. 

Ushbu  uslubiy  qo‘llanmada  dastlab 

2,

3

n

n





  holatlarda  Koshi 

teoremasi isbotlarini keltiramiz. Undan keyin umumiy holda   isbotini keltiramiz.  

1. 

2

n    bo‘lganda (1.1) tengsizlik 

1

2

1

2

2

x

x

x

x







 

ko‘rinishga  keladi.  Bu  tengsizlikni  chap  tomonidagi  ifodani  o‘ng  tomoniga 

o‘tkazib shakl almashtiramiz: 





2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x x

x x



















 





2

1

2

0

x

x



 , bo‘lganligi  uchun   tengsizlik o‘rinli.  Tenglik sharti 

1

2

x

x



 

bo‘lganda bajariladi.   

2. 

3

n   bo‘lganda (1.1) tengsizlik  

                          

3

1

2

3

x

x

x







1

2

3

3

x

x

x





                                    (1.3) 

7 

 

ko‘rinishga  keladi.  Belgilash  kiritamiz   

3

3

3

1

2

3

,

,

x

a

x

b

x

c







.  U  holda 

(1.3) tengsizlik 

3

3

3

3

a

b

c

a b c





  

 ko‘rinishga keladi.                                                                 

 

Endi quyidagi ayniyatdan foydalanamiz:  



 















2

2

2

3

3

3

3

2

a

b

c

a

b

b

c

c

a

a

b

c

abc

 



















 

(bu ayniyatni to‘g‘riligini tekshirishni o‘quvchilarning o‘ziga xavola qilamiz).  

0

2

a

b

c

 



 

va 













2

2

2

0,

0,

0

a

b

b

c

c

a













 

ekanligini 

e’tiborga  olsak, 

3

3

3

3

0

a

b

c

abc









  tengsizlikka  ega  bo‘lamiz.  Bundan  esa  

3

3

3

3

a

b

c

abc







 tengsizlik kelib chiqadi. Tenglik sharti  a

b

c

   bo‘lganda 

bajariladi. 

Endi  teoremani  umumiy  holda  isbotlash  uchun  zarur  bo‘ladigan  lemmani 

keltiarmiz.  

 

Lemma. 

Agar   

 

1

2

, ,...,

n

x x

x 

ixtiyoriy 

musbat  sonlar 

bo‘lib,   

1

2

...

1

n

x x

x









 bo‘lsa, u holda   

                        

1

2

...

n

x

x

x

n









                                          (1.4) 

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.   

Tenglik sharti  

1

2

....

1

n

x

x

x









 bo‘lganda bajariladi.  

Isboti.  (1.4)  tengsizlikni  matematik  induksiya  metodi  yordamida 

isbotlaymiz.   

1

n   da tengsizlikni to‘g‘riligi ravshan,  n

k

  da (1.4) tengsizlik 

to‘g‘ri  deb  faraz  qilamiz. 

1

n

k

 

  da    ham  (1.4)  tengsizlik  o‘rinli  bo‘lishini 

ko‘rsatamiz, 

ya’ni 

 

 

1

2

1

...

1

k

k

x x

x

x













 

bo‘lsa, 

1

2

1

...

1

k

k

x

x

x

x

k











 

 ekanligini  isbotlaymiz. 

a) 

1

2

1

, ,...,

k

x x

x





  sonlarining  hammasi  birga  teng  bo‘lsin.  U  holda 

1

2

1

...

1

k

k

x

x

x

x

k









 

 bo‘ladi.  

b)  

1

2

1

, ,...,

k

x x

x





sonlarining ichida shunday ikkitasi borki, ulardan bittasi birdan 

qat’iy  katta,  bittasi  birdan  kat’iy  kichik,    chunki     

1

2

1

...

1

k

k

x x

x

x













. 

Umumiylikka zid ish qilmagan holda, faraz qilishimiz mumkinki, 

 

1

1,

1,

k

k

x

x







 











1

1

1

2

1

2

1

1

1 1

0

1

.

....

1

k

k

k

k

k

k

k

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x













  



















     

8 

 

 bo‘lgani uchun farazimizga ko‘ra 





1

2

1

1

....

k

k

k

x

x

x

x

x

k

















 









1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

....

....

1

....

1

1

k

k

k

k

k

k

k

k

k

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

k































 

















  

 

Demak,  

1

2

1

...

1

k

x

x

x

k









 

. 

tenglik sharti faqat 

1

2

1

...

k

k

x

x

x

x











 bo‘lganda bajariladi.  

Koshi teoremasini isboti. Agar 

1

2

, ,...,

n

x x

x 

sonlaridan birortasi nolga teng 

bo‘lsa,  u  holda  (1.1)  bir  tengsizlikning  chap  tomoni  nolga  aylanib,  to‘g‘ri 

tengsizlik  hosil  bo‘ladi.  Shuning  uchun 

1

2

3

0,

0,

0, ...

0

n

x

x

x

x









    deb 

hisoblashimiz mumkin. Belgilash kiritamiz.  

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

,

,...,

...

...

...

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

a

a

a

x x

x

x

x

x

x x

x

























. 

Ravshanki, 

1

2

,

, ...,

n

a a

a    sonlar  musbat  va 

1

2

...

1

n

a

a

a



 

 .  U  xolda 

isbotlangan lemmaga ko‘ra  

1

2

...

n

a

a

a

n



  

  bo‘ladi.  

Demak,  

1

2

1

2

1

2

1

2

...

...

...

...

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x











 



 



 

 ya’ni  

1

2

1

2

...

...

n

n

n

x

x

x

x

x

x

n















 

bo‘ladi. Teorema to‘liq isbotlandi.