Б. Файзуллаева 1 12-тема. Несобственные интегралы

---

Доц. Б. Файзуллаева 
1 
12-тема. Несобственные интегралы 
План 
1.Интеграл на бесконечном промежутке и его сходимость.
2.Свойства сходящихся интегралов. Основные формулы. 
3.Несобственные интегралы от неограниченной функции. 
Ключевые слова: определенный интеграл, предел функции, сходимость несобственных 
интегралов, методы интегрирования несобственных интегралов, формула Ньютона-
Лейбница, формула замены переменных, формула интегрирования по частям. 
 
1. Интеграл на бесконечном промежутке и его сходимость. 
Пусть функция 
определена на промежутке где заданное число, и 
интегрируема на отрезке
, т.е. для любого существует 
интеграл 
 
Определение 1. Если существует предел функции 
при , то этот 
предел называется несобственным интегралом от функции 
 на промежутке  
и обозначается следующим образом: 
Определение 2. Если существует конечный предел функции 
при , то 
интеграл (2) называется сходящимся, а функцию 
называют интегрируемой в 
несобственном смысле на промежутке  
Если существует бесконечный предел функции 
при или этот предел 
не существует, то интеграл (2) называется расходящимся. 
Интеграл на бесконечном промежутке вида  
 определяется аналогично: 
Несобственный интеграл на бесконечном промежутке вида 
 определяется 
аналогично: 
Пример 1. Вычислите интеграл 
Решение. По определению несобственного интеграла имеем
так как предел конечный, то данный несобственный интеграл сходится и

---

Доц. Б. Файзуллаева 
2 
 
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграла 
Решение. Очевидно, что функция 
непрерывна на отрезке 
поэтому существует интеграл 
a) Пусть 
В этом случае
Следовательно, при
данный интеграл сходится и
b) При 
и имеем
Поэтому при
данный интеграл расходится.