Avtoregressiya jarayoni

15- mavzu. Авторегрессион моделлар ва жараёнлар. Гетероскедастлилик ва қолдиқ авторегрессияси.

Nazorat uchun savollar:

1. Аvtоrеgrеssiya jаrаyoni deb qanday jarayonga aytiladi?

2. ARMA modeli qanday model?

3. ARMA va ARIMA modellari nimasi bilan farq qiladi?

4. Geteroskedastiklik deb nimaga aytiladi?

Vaqt qatorining qaralayotgan qiymatining avvalgi qiymatlariga chiziqli bog’liq holda o’zgarish hodisasiga avtoregressiya jarayoni yoki AR jarayon deyiladi. Masalan, agar hozir kuzatilayotgan qiymat ana shu kuzatishdan avvalgi faqat bitta qiymatning chiziqli funksiyasi bo’lsa, u holda bunday jarayon 1-tartibli avtoregressiya jarayoni deyiladi va AR(1) kabi belgilanadi. Xuddi shuningdek, agar qaralayotgan jarayon hozirgidan avvalgi k ta qiymatga chiziqli bog’liq bo’lsa, u holda bu k-tartibli avtoregressiya jarayoni yoki AR(k) deyiladi:

AR(k): .

1-tartibli AR jarayon:

AR(1): .

Demak, AR-modelda modellashtirilayotgan qiymat o’zidan avvalgi qiymatlarning chiziqli funksiyasi bo’lib keladi. Haqiqatan ham, AR(k) ning tenglamasi vaqt qatorining o’tmishdagi qiymatlari erkin o’zgaruvchilar sifatida kelgan ko’p o’zgaruvchili regressiya tenglamasini eslatadi. “Avtoregressiya” nomi ana shu o’xshashlik bilan bog’liqdir. Tanlanma avtoregressiya tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

Bu formula bo’yicha X_t ning kelgusi qiymatlarini avvalgi k ta laggacha bo’lgan qiymatlarning chiziqli kombinatsiyasi yordamida bashorat qilish mumkin.

Avtoregressiya modelini faqat statsionar qatorlar uchun qurish mumkin.

Siljuvchi o‘rta qiymat avtoressiya modeli (ARMA, autoregressive moving-average model) statistikada statsionar vaqt qatorlarini tahlil qilish va bashorat qilish uchun ishlatiladigan matematik modellardan biridir. ARMA modeli vaqt qatorlarining ikkita sodda modellari - avtoressiya modeli (AR) va siljuvchi o‘rta qiymat modelini (MA) umumlashtiradi.

ARMA(p, q) modeli deb, quyidagi vaqt qatorini hosil qilish jarayoniga aytiladi:

bu yerda p va q model tartibini belgilaydigan butun sonlar, c-o‘zgarmas son, - “oq shovqin”, ya’ni matematik kutilmasi nolga teng bog’liqsiz va bir xil taqsimlangan (odatda normal) tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi, hamda va mos ravishda avtoressiya va siljuvchi o‘rta qiymat koeffitsientlarini ifodalovchi haqiqiy sonlar.

Bunday modelni chiziqli k o‘p o‘zgaruvchili regressiya modeli sifatida talqin qilish mumkin, bunda bog’liq o’zgaruvchining avvalgi qiymatlari tushuntiruvchi o o‘zgaruvchilari sifatida ishlatiladi va regressiya qoldiqlari sifatida “oq shovqin” elementlaridan iborat siljuvchi o’rta qiymatlari olinadi. ARMA jarayonlari AR yoki MA jarayonlariga qaraganda murakkabroq tuzilishga ega, ammo ARMA jarayonlari kamroq parametrlar bilan tavsiflanadi, bu ularning afzalliklaridan biridir.

ARMA modelini qurish uchun bir qator kuzatuvlardan modelning tartibini (p va q sonlarini), so’ngra koeffitsientlarning o’zini aniqlash kerak. Modelning tartibini aniqlash uchun vaqt qatorining avtokorrelyatsiya funktsiyasi va xususiy avtokorrelyatsiya funktsiyasi kabi xarakteristikalarni o’rganishdan foydalanish mumkin. Koeffitsientlarni aniqlash uchun esa eng kichik kvadratlar usuli va haqiqatga eng katta o’xshashlik usuli kabi usullar qo’llaniladi.

Yuqorida ko’rib chiqqan avtoregression modellar AR, MA va ARMA asosan statsionar vaqt qatorlarini modellashtirish uchun ishlatiladi. Agar vaqt qatorimiz nostatsionar bo’lsa qanday yo’l tutiladi? - degan tabiiy savol tug’ilishi mumkin. Bunday hollarda ishlatiladigan modellardan biri ARIMA modelidir.

ARIMA (inglizcha autoregressive integrated moving average,, ba’zida Boks-Jenkins modeli, Boks-Jenkins metodologiyasi) - siljuvchi o’rta qiymatli avtoregresiyaning integrallangan modeli- bu ARMA modelining nostatsionar vaqt qatorlari uchun umumlashtirilgani hisoblanadi. Bunda nastatsionar vaqt qatori biror tartibli ayirmalar usuli (integrallangan qatorlar) yordamida statsionar qatorga olib kelinadi. Demak bu modelda ayirma tartibini ifodalovchi yana bitta parametr qo’shiladi.

ARIMA(p,d,q) modeli vaqt qatorining d tartibli ayirmalari ARMA(p, q) modeliga bo’ysunishini anglatadi.

Statsionar bo’lmagan vaqt qatorlari uchun ARIMA(p,d,q) modeli quyidagi ko’rinishga ega:

bu yerda statsionar vaqt qatori, - model parametrlari, - vaqt qatorining d tartibli ayirmalar operatori (birinchi tartibdagi ayirmalarni d marta ketma-ketlik olish - birinchi vaqt qatoridan, keyin birinchi tartibda olingan ayirmalardan, keyin ikkinchi tartibdan va hokazo).

Misol. Quyidagi jadvalda Belgiyadagi korxona aksiyasi narxining 20 yillik ma’lumotlari keltirilgan. Ushbu ma’lumotlarga asoslanib ARIMA modelini quring.