Avtomatik boshkarish xakida dastlabki tushunchalar

S₁-sistemaga qo’yilgan boshlang’ich shartlar bo’yicha aniqlangan ixtiyoriy o’zgarmas son.
Shunday qilib, chiziqli sistemaning turg’unligini xarakteristik tenglamaning ildizlari aniqlar ekan.
Ildizlar esa haqiqiy, kompleks va mavhum bo’lishi mumkin.
Chiziqli sistema uzatish funksiyasi W(P) ning hamma qutblari haqiqiy qismning manfiy ishoraga ega bo’lishi uning turg’un bo’lishining zarur va etarli sharti hisoblanadi.
Uzatish funksiyasining maxrajidagi polinom ildizlarini uzatish funksiyasining qutblari, suratidagi polinom ildizlari uzatish funksiyasining nollari deyiladi.
W(P)=P(P)/Q(P) (7)
Ochiq sistema uzatish funksiyasining xarakteristik tenglamasi Q(P)=0 ning ildizlari haqiqiy qismining manfiy bo’lishi ochiq sistemaning turg’un bo’lishining etarli va zarur shartidir.
Berk sistema uchun
F(P)=W(P)/J+W(P)=(P(P)/Q(P))/J+P(P)/Q(P)=P(P)/Q(P)+P(P)=B(P)/A(P) (8)
A(P)=1+W(P)=0- berk sistemaning xarakteristik tenglamasi.
Berk sistema xarakteristik tenglamasi A(P)=0 ildizlari haqiqiy qismining manfiy bo’lishi uning turg’un bo’lishining etarli va zarur shartidir.
Turg’unlikning bu shartlari A.M.Lyapunov tomonidan nochiziqli sistemalarining chiziqlantirilgan tenglamalari uchun isbotlandi va qo’llandi. Quyida biz bu teoremalarni isbotsiz keltiramiz.
1-teorema: Agar chiziqlantirilgan sistema xarakteristik tenglamasi hamma ildizlarining haqiqiy qismi manfiy bo’lsa, unda real sistema ham turg’un bo’ladi,ya’ni juda kichik nochiziqli hadlari sistemaning turg’unlik holatiga ta’sir ko’rsata olmaydi.
2-teorema: Agar chiziqlantirilgan sistema xarakteristik tenglamasining birorta ildizi musbat haqiqiy qismga ega bo’lsa, unda real sistema noturg’un bo’ladi, ya’ni juda kichik nochiziqli hadlari sistemani turg’un qila olmaydi.
3-teorema: Agar chiziqlantirilgan sistema xarakteristik tenglamasining ildizlari mavhum yoki nolga teng bo’lsa, unda real sistema turg’unlik chegarasi bo’ladi. Ya’ni bunda juda kichik nochiziqlar hadlar o’tkinchi jarayon ko’rinishini tubdan o’zgartirib yuborishi, hamda real sistemani turg’un yoki noturg’un holatga keltirish mumkin.
Shunday qilib, sistema turg’unligini tadqiq etish uning xarakteristik tenglamasi ildizlarining ishorasini aniqlashdan, ya’ni xarakteristik tenglama ildizlarini kompleks tekisligida mavhum o’qqa nisbatan qanday joylashganligini aniqlashdan iborat.

Kompleks tekislikda xarakteristik tenglama ildizlarining mavhum o’qqa nisbatan joylashganligini aniqlaydigan qoidalarga turg’unlik mezonlari deyiladi.
Sistemaning turg’unlik masalalarini echishda quyidagi turg’unlik mezonlaridan foydalaniladi:
1.Turg’unlikning algebraik mezonlari:
a) Gauss mezoni.
b) Gurvis mezoni.
2.Turg’unlikning chastotaviy mezonlari:
a) Mixaylov mezoni
b) Naykvist mezoni
3.Turg’unlikning logarifmik mezoni:
a) D-bo’linish usuli.

2. 
   Garvits turg’unlik mezoni
   

ABS ning xarakteristik tenglamasi berilgan bo’lsin:

A(R) =a₀Pⁿ+a₁P^n-1+…+a_n=0 (9)
Shu xarakteristik tenglama koeffisientlaridan tuzilgan jadvalga Gurvis aniqlovchisi (determinanti) deyiladi.
Gurvis aniqlovchisini tuzishda quyidagi qoidaga rioya qilish kerak:
a) bosh dioganal bo’yicha hamma koeffisientlarni “a₁” dan to “a_n” gacha o’sish tartibi bilan yozib chiqiladi.
b) bosh dioganalga nisbatan qatorlarning pastga tomon indekslari kamayuvchi, yuqoriga tomon indekslari o’sib boruvchi koeffisientlar bilan to’ldiriladi.
v) indekslari noldan kichik hamda “n” dan katta bo’lgan koeffisientlar o’rniga nollar yoziladi.
g) Gurvis aniqlovchisining eng yuqori tartibi xarakteristik tenglamaning darajasiga teng bo’ladi.
d) Gurvis aniqlovchisining oxirgi tartibi ₀=a₀_n ga tengdir.


a₁ a₃ a₅ a₇ 0