Аспекты построения

Математическая модель представляет собой приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики [249, с. 343]. Ее основное назначение в педагогических исследованиях, по мнению ряда ис- следователей [72; 274; 334; 415; 416], состоит в том, что они по- зволяет: во-первых, устанавливать взаимосвязи между неоднород- ными переменными, описывающими сложные искусственные сис- темы; во-вторых, делать адекватные прогнозы о перспективах раз- вития систем; в-третьих, более четко интерпретировать результаты наблюдений за поведением системы.
При построении математической модели исходными являют- ся только те свойства объекта, которые могут быть описаны коли- чественно, и только те связи между ними, которые поддаются опи- санию языком математики.
Построение математической модели, т.е. формальная поста- новка задачи на языке математики является на сегодняшний день самым слабым звеном в педагогической теории. Как отмечает Ю.П. Адлер [10], всякая формализация, по существу, представляет собой насилие над задачей, втискивание ее в прокрустово ложе некоторой априорной формальной схемы. Однако другого пути на сегодняшний день нет. Для использования богатых возможностей, предоставляемых теорией вероятностей и математической стати- стикой, мы должны формализовать нашу задачу. Разрабатывать свой математический аппарат для каждой конкретной задачи не представляется возможным в связи с несоизмеримостью затрачен- ных сил и получаемой при этом разовой выгодой. Следовательно, мы вынуждены подбирать формальную схему, наиболее точно ха- рактеризующую изучаемый объект, и попытаться с минимальными потерями представить с ее помощью нашу проблему.
Все вышесказанное приводит к необходимости очень тща- тельного предварительного изучения объекта исследования, чтобы неизбежная неточность приближения не привела к неправильным выводам в результате некорректно выбранной модели.
В теории математического моделирования процесс построе- ния модели включает в себя шесть основных этапов: 1) определе- ние конечных целей моделирования, набора участвующих в моде- ли факторов и показателей, их роли; 2) предмодельный анализ фи- зической сущности изучаемого явления, формирование и форма- лизация априорной информации; 3) собственно моделирование, т.е. вывод общего вида модели; 4) статистический анализ модели, т.е. оценка неизвестных значений участвующих в описании моде- ли параметров; 5) верификация модели; 6) уточнение модели, в частности, возвращение ко второму этапу. Подробно эти этапы с точки зрения математического моделирования изложены, напри- мер, в справочном издании по прикладной статистике под редак- цией С.А. Айвазяна [13].
Особенности педагогического исследования накладывают свои ограничения на схему построения модели, что вынуждает прибегать к упрощенной схеме «черного ящика».
На первом этапе необходимо перейти от реального объекта к его схеме, называемой моделью «черного ящика». В основе такой модели лежит представление об объекте как о некоторой системе, функционирующей по неизвестному нам принципу. Не зная, как этот механизм работает, мы можем наблюдать результат его рабо- ты. Наблюдая за функционированием нашего объекта, мы замеча- ем, что он изменяет свое состояние под действием каких-то внеш- них причин. Наша задача попытаться выделить эти причины в ви- де отдельных воздействий, которые принято называть факторами. То есть факторы — это переменные воздействия на объект, влия- нию которых приписывается его переход из одного состояния в другое. При этом переменные, характеризующие состояние объек- та, называются откликами.
После выделения факторов и откликов заканчивается первый этап в построении модели. Следующий этап состоит в выборе
уровней варьирования факторов, т.е., другими словами, в выборе шкалы измерения. Несмотря на кажущуюся простоту, этот этап очень важен и достаточно труден. Выбор определенной шкалы ог- раничивает круг статистических методов, применимых для даль- нейшего анализа данных. Следовательно, слишком грубая шкала приведет к невозможности использования более тонких критериев, что в свою очередь даст очень приблизительные (а значит, и мало- убедительные) результаты. С другой стороны, введение чрезмерно точных шкал может оказаться неоправданным из-за отсутствия способов проведения измерений с выбранной точностью. В ре- зультате приближенность измерений вместе с достаточно тонкими статистическими критериями может дать гораздо худшие резуль- таты при больших затратах сил и средств.
После выбора шкалы измерения, т.е. приписывания уровням проявления факторов некоторых числовых значений, можно пе- рейти к следующему этапу, который состоит в установлении соот- ветствия между факторами и откликами. То есть в нахождении функции отклика, определяющей связь между значениями факто- ров и значениями откликов. Невозможно сразу же точно указать функцию отклика. Если бы это было так просто, то не возникало бы никаких проблем при изучении нашего объекта. Зная, как свя- заны определенные действия с изменением состояния объекта, мы обладаем практически полной информацией об объекте. Он тогда не является для нас загадкой и становится «прозрачным» для на- блюдателя, управленца. В таком случае часто говорят о построе- нии модели «белого ящика». К сожалению, а может быть, и к сча- стью, реальные объекты намного сложнее любых моделей, кото- рые мы можем для них построить, а значит, задача построения функции отклика остается одной из наиболее сложных.
Откуда же в таком случае исследователь может найти тре- буемую связь? Только из внимательного изучения свойств объек- та. Длительное и тщательное наблюдение за объектом исследова- ния позволяет сделать некоторые предположения о законах функ- ционирования этого «черного ящика» и выдвинуть некоторые предположения, гипотезы.
Выдвижением правдоподобной гипотезы и завершается вто- рой этап построения модели. Далее в дело вступает эксперимент, направленный на проверку выдвинутой гипотезы. Однако этим дело может и не ограничиться. Где гарантия того, что наша гипо- теза окажется верной? Данные эксперимента могут убедить нас в необоснованности предположений. И хотя отрицательный резуль- тат, безусловно, тоже результат, приходится возвращаться к этапу выдвижения гипотезы с учетом полученных новых знаний. Недос- таток информации об объекте или поспешность исследователя мо- гут превратить этот путь в заколдованный круг, но иного пути ис- следования не существует.
Отметим, что в педагогических исследованиях математические модели, как правило, используются, а не строятся. Так, например, разнообразные модели, отражающие всевозможные связи между математическими величинами привлекаются для интерпретации результатов педагогических экспериментов. В этом случае исследо- ватели используют аппарат теории статистического вывода.
Каждая, из рассмотренных выше моделей в различных педа- гогических концепциях может самостоятельно составлять раздел
«Содержательно-смысловое наполнение». Однако в силу сложно- сти и многоаспектоности педагогических феноменов наиболее продуктивным представляется путь комплексного моделирования, при котором изучение явления осуществляется с различных точек зрения при построении сразу нескольких моделей, характеризую- щие разнообразные по природе свойства.
Как показал анализ исследований, в которых реализована идея комплексного моделирования [70; 154; 401; 469 и др.], наибо- лее продуктивно построение следующих видов моделей:

• 
  при исследовании проблемы управления образовательным уч- реждением — организационную, образовательную и компе- тентностную модели;
  
• 
  при изучении вопросов воспитания и формирования качеств личности — процессную и структурно-функциональную;
  
• 
  при разработке вопросов подготовки к тому или иному виду профессиональной деятельности — структурно-функциональ- ную, процессную и компетентностную модели;
  
• 
  при изучении проблем повышения эффективности отдельных компонентов образовательного процесса — структурно-функ- циональную, математическую и др.
  

Таким образом, использование комплексного моделирования позволяет составить целостное представление об исследуемом пе- дагогическом феномене, обеспечивает новое качество модельного представления, которое выводит исследователя на иной уровень строгости рассуждений и выводов.