Asosiy tushunchalar. Laplas tenglamasining fundamental yechimi

2.2 Dirixle masalasining Grin funksiyasi.

Laplas tenglamasi uchun chegarasi sirtdan iborat bo’lgan biror sohada Dirixle masalasining Grin funksiyasi deb, ikkita nuqtalarning funksiyasi bo’lgan va quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga aytiladi:

1. 
   ushbu ko’rinishga ega
   

, (2.7)
bu yerda - Laplas tenglamasining fundamental yechimi, esa bo’yicha ham, bo’yicha ham garmonik funksiyadir;

2. 
   yoki nuqta sohaning chegarasida yotganda
   

. (2.8)
Bu ta’rifga asosan funksiya nuqtadan tashqari barcha sohada garmonik funksiyadir.
Bu ta’rifdan yana shu narsa ko’rinadiki, funksiya yordamida aniqlanadi, esa, o’z navbatida da garmonik bo’lib, da , yoki , qiymatlarga teng. Bu yerda shunday garmonik funksiyaki, u chegarada maxsus qiymatlarni qabul qiladi. Ayrim hollarda bunday funksiyani topish ancha qulay bo’ladi. Bu ma’lum bo’lgandan so’ng chegarada ixtiyoriy qiymatni qabul qiluvchi garmonik funksiyani topish mumkin bo’ladi. Agar (1.12) yoki (1.13) formulada ni Dirixle masalasining yechimi deb hisoblab, o’rniga ni olsak, u holda (1.12) formulani, to’g’rirog’i (1.10) formulani chaqirishdagi mulohazalarni qaytarib, hamda (2.7) va (2.8) ni e’tiborga olsak,
, (2.9)
formula hosil bo’ladi.
Agar Grin formulasi mavjud bo’lsa, (2.9) formula Dirixle masalasining yechimini beradi. (2.9) formula bilan ifodalangan funksiyaning garmonikligi ning da ning garmonik funksiyasi ekanligidan kelib chiqadi. Bu funksiyaning
, ,
chegaraviy shartni qanoatlantirishi alohida isbot talab qiladi.