Asosiy qism: Signallar haqida umumiy

SIGNALLARNING MATEMATIK MODELLARI

Determinant signallarning matematik modellari

Texnikada signal deganda fizik tizim holatini aks ettiruvchi qandaydir miqdor tushuniladi. Radiotexnikada signal deb kuchlanish (ko‘pincha) yoki tok o‘zgarishini ifodalovchi vaqt funksiyasi 𝑠⁽𝑡⁾ ga aytiladi.
Berilgan analitik (determinant – har qanday vaqt momentida aniqlangan) funksiya 𝑠⁽𝑡⁾ signalning matematik modeli hisoblanadi.
Determinant radiotexnik signallarning matematik modellarini quyidagi turlarga ajratish mumkin:

• 
  uzluksiz signal (garmonik tebranish):
  

𝑠⁽𝑡⁾ = 𝑈 cos 𝜔₀𝑡 , 𝑠⁽𝑡⁾ = 𝑈 sin 𝜔₀𝑡 . (2.1)
Garmonik signalning aniqlanish sohasi 𝑡 ∈ ⁽−∞, ∞⁾.

• 
  uzluksiz signal (Gauss impulsi):
  

𝑠⁽𝑡⁾ = 𝑈𝑒^{−𝛼2𝑡2}, 𝑡 ∈ ⁽−∞, ∞⁾. (2.2)

• 
  uzluksiz signal (eksponensial impuls):
  

_{𝑠(𝑡) = {}𝑈𝑒^−𝛼𝑡, 𝑡 ∈ ^[0, ∞⁾,
0, 𝑡 < 0.

(2.3)

• 
  finit signal, ya’ni cheklangan vaqt intervalida noldan farqli qiymatlarni qabul qiluvchi signal (to‘g‘ri to‘rtburchakli videoimpuls):
  

𝑠⁽𝑡⁾ = {

𝑈, 𝑡 ∈ [− ^𝑇
2
0, 𝑡 ∉ [− ^𝑇
2
, ^𝑇], 2
, ^𝑇]. 2

(2.4)

• 
  finit signal (uchburchakli videoimpuls):
  

𝑠⁽𝑡⁾ = {
^𝑈 (𝑇 − 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇],
𝑇
0, 𝑡 ∉ [0, 𝑇].
(2.5)

• 
  davriy signal:
  

∞
𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ = ∑ 𝑟⁽𝑡 − 𝑘𝑇⁾, 𝑘 = 0, ±1, ±2, …,
𝑘=−∞
bu yerda, 𝑟⁽𝑡⁾ – 𝑇 intervaldagi (ketma-ketlik davrida) finit signal.

• 
  oniy qiymatlar ketma-ketligi hisoblanuvchi diskret signal:
  

(2.6)

𝑠⁽𝑘𝑇⁾ = 𝑒^{−𝛼𝑘𝑇}, 𝑘 = 0, 1, 2, …. (2.7) Sinov signallari. Signallarning matematik modellari orasida sinov, namunaviy, nazorat signallari alohida o‘rin egallaydi. Ushbu signallar nazariy tadqiqotlar olib borishda, ularga taqriban mos keluvchi fizik (radiotexnik) signallar
eksperimental radiotexnika va amaliy radioo‘lchashlarda juda keng foydalaniladi.
Keng tarqalgan sinov signallaridan biri bu yakka sakrash funksiyasi, birlik zinasimon funksiya, ulash funksiyasi yoki Xevisayd funksiyasi:
1, 𝑡 > 0,

𝜎⁽𝑡⁾ = 1⁽𝑡⁾ = {^{1/2, 𝑡 = 0,}
0, 𝑡 < 0.
(2.8)

Yakka sakrash signalining sinov signali deb atalishiga sabab, uning yordamida radiotexnik qurilmaning o‘tish xarakteristikasi olinadi. Qurilmaning yakka birlik funksiyaga aks ta’siri uning o‘tish xarakteristikasi hisoblanadi.
Eng muhim sinov signali delta-funksiya yoki Dirak funksiyasi 𝛿⁽𝑡⁾
hisoblanadi va quyidagi ifodalar orqali aniqlanadi:
∞

0, 𝑡 ≠ 0.
1. 𝛿⁽𝑡⁾ = {^{∞, 𝑡 = 0,} 2. ∫ 𝛿⁽𝑡⁾𝑑𝑡 = 1 ⁽𝛿 − 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 𝑦𝑢𝑧𝑎𝑠𝑖⁾. (2.9)
−∞
(2.9) ifodaning birinchi qismidan kelib chiqadiki, 𝛿⁽𝑡⁾ funksiya faqat 𝑡 = 0
argumentdagina mavjud bo‘lganligi uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli:
∞

1. 𝛿⁽𝑡 − 𝑡₀⁾ =
∞, 𝑡 = 𝑡₀,
^{ 0, 𝑡 ≠ 𝑡₀.
2. ∫ 𝛿⁽𝑡 − 𝑡₀
−∞
⁾𝑑𝑡 = 1. (2.10)

(2.9) ifodaning ikkinchi qismidan kelib chiqadiki, 𝛿⁽𝑡⁾ funksiyaning o‘lchov birligi 𝑡 argumenti o‘lchov birligiga teskari kattalik. Yana bir muhim xususiyati, bu 𝛿-funksiyaning filtrlash xossasi hisoblanadi:

∞ ∞
∫ 𝑓(𝑡)𝛿⁽𝑡 − 𝑡₀⁾𝑑𝑡 = 𝑓⁽𝑡₀⁾ ∫ 𝛿⁽𝑡 − 𝑡₀⁾𝑑𝑡 = 𝑓⁽𝑡₀⁾, (2.11)
−∞ −∞
ya’ni, 𝛿 -funksiyaga ko‘paytiruvchi sifatidagi integral osti funksiyaning integrali nolga teng bo‘lmagan argumentli 𝛿-funksiyaning qiymatiga teng.
𝛿⁽𝑡⁾ funksiya umumlashtirilgan, ramziy funksiyalar deb ataluvchi funksiyalar qatoriga kiradi. Uning yordamida, masalan, klassik ma’noda mavjud bo‘lmagan Xevisayd funksiyasining xosilasini aniqlash mumkin:
^{𝑑𝜎(𝑡)} = 𝛿⁽𝑡⁾. (2.12)
𝑑𝑡
Xevisayd funksiyasi (2.8) o‘z navbatida (2.12) asosida quyidagicha ifodalanishi mumkin:
𝑡
𝜎⁽𝑡⁾ = ∫ 𝛿⁽𝑡⁾𝑑𝜆. (2.13)
−∞
Garmonik signal (2.1) va garmonik (kvazigarmonik) ulanish funksiyasi
𝑠⁽𝑡⁾ = 𝑈 cos 𝜔₀𝑡 , 𝑡 ≥ 0 ni Xevisayd funksiyasidan foydalanib quyidagicha yozish mumkin 𝑠⁽𝑡⁾ = 𝑈𝜎⁽𝑡⁾ cos 𝜔₀𝑡.
Radiosignal. Quyidagi model ko‘rinishidagi signallar radiosignallar deb ataladi.
𝑢⁽𝑡⁾ = 𝑈⁽𝑡⁾ cos^{𝜔₀𝑡 + 𝜑⁽𝑡⁾ + 𝜑₀^} = 𝑈⁽𝑡⁾ cos Ψ(t). (2.14) Radiosignalning og‘uvchisi (o‘rovchisi) 𝑈⁽𝑡⁾ , to‘liq fazasi Ψ(t) va faza funksiya 𝜑⁽𝑡⁾ lari ajratiladi. 𝜔₀ = 2𝜋𝑓₀ chastota tashuvchi chastota deb ataladi. (2.14) model ko‘rinishidagi signalning 𝑈⁽𝑡⁾ og‘uvchisi va 𝜑⁽𝑡⁾ faza funksiyasi
𝑇₀ = 2𝜋/𝜔₀ (tashuvchi chastota davri) vaqt oralig‘ida sezilarli o‘zgarmaydi. Ko‘pchilik signallarni (2.14) ifoda (signal)ning xususiy hollari sifatida ifodalash mumkin, masalan 𝑈⁽𝑡⁾ = 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 bo‘lgan holat yoki 𝜔₀ = 0 bo‘lgan holat yoki 𝜑⁽𝑡⁾ = 0 bo’lgan holat va h.k. Agar 𝜑⁽𝑡⁾ = 0 bo‘lsa, u holda 𝜑₀ boshlang‘ich faza deyiladi.
Eng sodda radiosignal garmonik funksiya (2.1) hisoblanadi.
Agar 𝑈⁽𝑡⁾ og‘uvchisi finit funksiya bo‘lsa, u holda radiosignal (2.14) radioimpuls deb ataladi. 𝑈⁽𝑡⁾ og‘uvchisi finit funksiyaga mos videoimpuls, 𝜔₀ – radioimpulsning to‘ldiruvchi chastotasi ( 𝜑⁽𝑡⁾ = 𝜑₀ holatda) hisoblanadi. Og‘uvchisi sifatida to‘g‘ri to‘rtburchakli videoimpuls (2.4) ni tanlasak va 𝜑⁽𝑡⁾ =
𝜑₀ = 0 deb olsak, u holda to‘g‘ri to‘rtburchakli radioimpuls shaklidagi radiosignalni hosil qilamiz, ya’ni

𝑇
𝑈 cos 𝜔₀𝑡 , 𝑡 ∈ [−
𝑠⁽𝑡⁾ = { ²
0, 𝑡 ∉ [− ^𝑇
2
, ^𝑇], 2
, ^𝑇]. 2

(2.15)

Agar 𝑈⁽𝑡⁾ og‘uvchisi 𝑡 ∈ (−∞, ∞) yoki 𝑡 ∈ [𝑡, ∞) intervalda aniqlangan uzluksiz funksiya bo‘lsa, u holda ushbu signal (2.14) radiosignalga mos videosignal deb ataladi.