Asosiy qism: Signallar haqida umumiy

Uchburchakli videoimpulslar ketma-ketligi. Uchburchakli videoimpulslar ketma-ketligidan iborat bo‘lgan davriy signalni ko‘rib chiqamiz (2.6-rasm). Impulslar ketma-ketligi uchun analitik ifoda quyidagi ko’rinishga ega:
𝑈 (1 − ^{2 |}𝑡^|) , ^|𝑡^| ∈ [0, ^𝑟],

𝑟⁽𝑡⁾ = {
𝑟
0, ^|𝑡^|
2
𝑟
∉ [0, ₂].
(2.29)

2.6-rasm. Uchburchakli videoimpulslar ketma-ketligi

(2.21) ifodada keltirilgan Furye kompleks qatoridan foydalanib, 𝐶_𝑘^̇
koeffitsiyentlari uchun quyidagi ifodaga ega bo’lamiz:

_𝐶𝑘̇
= ¹ ∫ 𝑟⁽𝑡⁾𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡 =
𝑇
⁽𝑇⁾

0
₌ 1 2

𝑐 2
−𝑗𝑘𝜔₁𝑡 <sup>1




2</sup> −𝑗𝑘𝜔₁𝑡

_𝑇 ∫ 𝑈 (1 + _𝑟 𝑡) 𝑒

−
𝑐 2
𝑑𝑡 + _𝑇 ∫ 𝑈 (1 − _𝑟 𝑡) 𝑒
0



1
𝑐
𝑑𝑡 =


𝑐

𝑈 ^ﻟ2 0
0 2 2
2

= _{𝑇 𝑟} ∫ 𝑡𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡 + ∫ 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡 − _𝑟 ∫ 𝑡𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡 + ∫ 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡 .

−
❪ _𝑐
^𝗅 2
𝑐 ₀

−
2
❵
0 _𝖩

Ifodadagi integrallarni hisoblash va uncha murakkab bo‘lmagan amallarni bajarib (kitobxonga ushbu amallarni mustaqil bajarish tasviya etiladi), quyidagini hosil qilamiz:

𝑈𝑟
sin

𝑘𝜔₁𝑟 ²

𝑈𝑟
sin

𝑘𝜋𝑟 ²

{ }
𝑈
𝑘 𝜋 ²

sin
𝑞 2

𝐶_𝑘
⁼ 2𝑇
_{ 4 _}
𝑘𝜔₁𝑟
4
⁼ 2𝑇
2𝑇
𝑘𝜋𝑟 2𝑇
⁼ 2𝑞 ^{
𝑘 𝜋
𝑞 2
} . (2.30)

𝑞 = 1 deb, ya’ni (2.29) ifodadagi uchburchakli videoimpulsning davomiyligi 𝑟 takrorlanish davri 𝑇 bilan teng deb olsak, (2.21) qator koeffitsientlari uchun quyidagi ifodani olamiz:

_𝐶𝑘̇
= ^𝑈 {
2
sin 𝑘 ^𝜋 2
_𝜋 ²} .
𝑘

2
(2.24) va (2.29) ifodalardagi signallar spektrlari orasida qandaydir bog‘liqlik mavjud, ammo (5.28) ifodaga o‘xshash shaklda aniqlangan uchburchakli videoimpulslar ketma-ketligini Furye kompleks qatoriga yoyilmasi

𝑠 ⁽𝑡⁾ = ^2𝑈 {^𝜋 + cos 𝜔



𝑡 + ¹
cos 3𝜔
𝑡 + ¹
cos 5𝜔
𝑡 + ¹
cos 7𝜔
𝑡 + ⋯},

^𝑟 𝜋 4

1 ₃₂

1 ₅₂

1 ₇₂ 1

ko‘rinishida bo‘lib, yoyilmaning koeffitsiyentlari 1/𝑘² qonuniga mos ravishda kamayib boradi, ya’ni koeffitsiyentlar tezroq kamayadi. Bu uchburchakli

videoimpulsning shakli bilan bog‘liq: unda “sakrashlar” yoki 1-tur uzilishlar mavjud emas.

Furye almashtirishi

Nodavriy signallar spektrlarini tahlil qilish asosini Furye to‘g‘ri
∞
𝐹^{𝑠(𝑡)^} = 𝑆^̇(𝜔⁾ = ∫ 𝑠⁽𝑡⁾𝑒^{−𝑗𝜔𝑡}𝑑𝑡
−∞
(2.31)

va teskari


𝐹⁻¹{𝑆^̇(𝜔⁾} = 𝑠(𝑡) = ¹
2𝜋
∞
∫ 𝑆^̇(𝜔⁾𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
−∞
(2.31)

almashtirishlari tashkil qiladi.
𝑆^̇(𝜔) funksiya 𝑠(𝑡) signalning spektral funksiyasi, spektr zichligi yoki oddiygina spektri deb ataladi. Agar 𝑠(𝑡) signal Dirixle shartini hamda quyidagi absolyut integrallanish shartini qanoatlantirsa (2.31) va (2.32) almashtirishlarini amalga oshirish mumkin bo‘ladi:
∞
∫^|𝑠(𝑡)^|𝑑𝑡 < ∞.
−∞
𝑆^̇(𝜔) spektral funksiya umumiy holda kompleks funksiya bo‘lib, Eyler formulasi 𝑒^±𝑗𝛼 = cos 𝛼 ± 𝑗 sin 𝛼 ni e’tiborga olib, ushbu funksiyani quyidagi ko‘rinishga keltirish mumkin:
∞ ∞
𝑆^̇(𝜔⁾ = ∫ 𝑠⁽𝑡⁾ cos 𝜔𝑡𝑑𝑡 − 𝑗 ∫ 𝑠⁽𝑡⁾ sin 𝜔𝑡𝑑𝑡 =
−∞ −∞
= Re𝑆^̇(𝜔⁾ + 𝑗Im𝑆^̇(𝜔⁾ = 𝐴⁽𝜔⁾ − 𝑗𝐵⁽𝜔⁾. (2.33) Toq funksiyadan simmetrik chegaralarda olingan aniq integral nolga teng. (2.33) ifodadagi 𝑠(𝑡) signalni juft va toq signallar yig‘indisidan iborat 𝑠⁽𝑡⁾ =
𝑠_{𝑗𝑢𝑓𝑡}⁽𝑡⁾ + 𝑠_𝑡𝑜𝑞⁽𝑡⁾ deb qarasak, Furye kosinusoidal almashtirishi 𝐴⁽𝜔⁾ – 𝑠⁽𝑡⁾
signalning juft va Furye sinusoidal almashtirishi 𝐵⁽𝜔⁾ – 𝑠⁽𝑡⁾ signalning toq

qismlari orqali aniqlanishini kuzatish mumkin. Bundan foydali amaliy xulosa kelib chiqadi, ya’ni 𝑠⁽𝑡⁾ juft funksiyaning Furye almashtirishi chastota 𝜔 ning haqiqiy funksiyasi, 𝑠⁽𝑡⁾ toq funksiyaning Furye almashtirishi chastota 𝜔 ning mavhum funksiyasi hisoblanadi.
Furye teskari almashtirishi 𝐹^−1{𝐴⁽𝜔⁾ − 𝑗𝐵(𝜔)^} ni kuzatib, 𝐴⁽𝜔⁾ – chastota
𝜔 ning juft, 𝐵(𝜔) – esa toq funksiyasi ekanligini aytish mumkin:
𝐴⁽𝜔⁾ = 𝐴⁽−𝜔⁾, 𝐵⁽𝜔⁾ = −𝐵⁽−𝜔⁾.
Kitobxonga ushbu fikrni mustaqil ravishda isbot qilish tavsiya etiladi (bunda shuni e’tiborga olish kerakki, 𝑆^̇(𝜔) ning teskari Furye almashtirishi vaqtning haqiqiy funksiyasi hisoblanadi). Bundan 𝑆^̇(𝜔) ning yana bir muhim xossasi kelib chiqadi:
𝑆^̇∗(𝜔⁾ = ^{𝐴⁽𝜔⁾ − 𝑗𝐵(𝜔)^}∗ = 𝐴⁽𝜔⁾ + 𝑗𝐵⁽𝜔⁾ = 𝐴⁽−𝜔⁾ − 𝑗𝐵⁽−𝜔⁾ = 𝑆^̇(−𝜔⁾, (2.34) ya’ni, dastlabki spektral funksiyaga kompleks bog‘langan funksiyani topish uchun argument 𝜔 belgisini o‘zgartirish yetarli hisoblanadi.
Spektral funksiyani quyidagi namunaviy ko‘rinishda ifodalash mumkin:
𝑆^̇(𝜔⁾ = |𝑆^̇(𝜔⁾|exp𝑗𝜑⁽𝜔⁾. (2.35)

Bunda


|𝑆^̇(𝜔⁾| = ^√𝐴²⁽𝜔⁾ + 𝐵²⁽𝜔⁾ ≥ 0

ifoda spektral amplituda funksiyasi (ko‘pincha amplituda spektri) deb,
𝜑⁽𝜔⁾ = 𝑎𝑟𝑔𝑆^̇(𝜔⁾ = arctg ^Im𝑆̇^(𝜔)
Re𝑆^̇(𝜔⁾
ifoda esa spektral faza funksiyasi (ko‘pincha faza spektri) deb ataladi. Bundan amplituda spektri |𝑆^̇(𝜔)| juft, faza spektri 𝜑(𝜔) esa toq funksiya ekanligini ko‘rish mumkin. Ushbuni e’tiborga olib va (2.35) ifodani (2.32) ifodaga qo‘ysak, quyidagiga ega bo’lamiz
1 ∞ ∞ |𝑆^̇(𝜔)|
𝑠⁽𝑡⁾ = _2𝜋 ∫|𝑆^̇(𝜔)|𝑒^{𝑗𝜑(𝜔)}𝑒^𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 = ∫ _𝜋 cos^[𝜔𝑡 + 𝜑(𝜔)^] 𝑑𝜔 , (2.36)
−∞ 0
spektral funksiyaning fizik ma’nosi: 𝑠⁽𝑡⁾ signal juda kichik |𝑆^̇(𝜔⁾| ^𝑑𝜔 amplitudali,
𝜋
chastotalar intervali 0 dan ∞ gacha uzluksiz to‘ldiriluvchi cheksiz ko‘p sonli

garmonik tashkil etuvchilarning yig‘indisidan iborat; ushbu tashkil etuvchilarning boshlang‘ich fazalari 𝜑⁽𝜔⁾ funksiyasi orqali, cheksiz kichik amplitudalarning chastotaga bog‘liqligi “zichligi” |𝑆^̇(𝜔⁾| funksiyasi orqali ifodalanadi. (2.36) ifodadagi ikkinchi integral “manfiy” chastotalarning yuzaga kelishini izohlaydi: manfiy chastotalarning yuzaga kelishi Furye to‘g‘ri va teskari almashtirishlarining matematik operatsiya sifatidagi xarakteri bilan bog‘liq bo‘lib, fizik jihatdan noreal hisoblanadi. Ushbu mulohazani 2.2 va 2.3 bandlardagi natijalar bilan taqqoslash foydalidir.
Spektral funksiya 𝑆^̇(𝜔⁾ ning o‘lchov birligi signalning o‘lchov birligini
vaqtga ko‘paytmasi kabidir: ya’ni agar 𝑠⁽𝑡⁾ signalning o‘lchov birligi – voltlarda bo‘lsa, u holda spektral funksiyaning o‘lchov birligi [𝑆^̇(𝜔⁾] = 𝑉 ∙ 𝑠 = 𝑉/𝐻𝑧.