Asosiy qism: Signallar haqida umumiy

Davriy signallarni Furye qatoriga yoyish

Signallarni tahlil qilishda ularni funksional qatorlar yoyilmasi shaklida ifodalash juda muhim hisoblanadi. Funksional qatorlar fizika va matematikada ko‘pgina masalalarni yechishda juda keng ishlatiladi. Ayniqsa trigonometrik, garmonik qatorlar va Furye qatorlari alohida o‘rin egallashadi.
Furye trigonometrik qatori. Cheklanmagan interval 𝑡 ∈ (−∞, ∞) da

𝑘=−∞
aniqlangan davriy signal 𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ = ^∑∞
𝑟⁽𝑡 − 𝑘𝑇⁾, 𝑘 = 0, ±1, ±2, … ni quyidagi

Furye trigonometrik qatori ko‘rinishida ifodalash mumkin.
∞

𝑠 ⁽𝑡⁾ = ^𝑎0 + ∑⁽𝑎 cos 𝑘𝜔 𝑡 + 𝑏 sin 𝑘𝜔



𝑡⁾, (2.16)

𝑟 ₂
𝑘
𝑘=1
1 𝑘 1

bunda, 𝜔₁ = ^2𝜋 = ^2𝜋, 𝑓₁ = ¹
𝑣𝑎 𝑘 = 1, 2, ….

𝑇 𝑓₁ 𝑇
Signalni bunday yoyilma (2.16) shaklida ifodalash uchun 𝑟⁽𝑡⁾ signal (𝑟(𝑡) –
^{𝑇 oraliqdagi finit signal)} T ^{davr oralig‘ida Dirixle shartini qanoatlantirishi lozim,} ya’ni

• 
  2-tur uzulishga ega bo‘lmasligi;
  

• 
  chekli sondagi 1-tur uzulishlarga ega bo‘lishi;
  
• 
  chekli sondagi ekstremumlarga ega bo‘lishi kerak.
  

𝑎_𝑘 (shu jumladan 𝑎₀ ham) va 𝑏_𝑘 koeffisiyentlar quyidagi formulalar orqali aniqlanadi
𝑇 𝑇
2 2
𝑎_𝑘 = _𝑇 ∫ 𝑟(𝑡) cos 𝑘𝜔₁𝑡 𝑑𝑡 , 𝑏_𝑘 = _𝑇 ∫ 𝑟(𝑡) sin 𝑘𝜔₁𝑡 𝑑𝑡 . (2.17)
0 0
Ba’zan 𝑎_𝑘 koeffitsiyentni hisoblash umumiy formulasidan 𝑎₀ koeffitsiyent o‘rniga (2.17) formulaga 𝑘 = 0 ni qo‘yib 𝑎₀/2 ni hisoblash qulay, ya’ni
𝑇
𝑎₀ 1
₂ = _𝑇 ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡 . (2.18)
0
Amaliyotda (2.16) qatorning ikkinchi ko‘rinishidan foydalanish qulay, ya’ni quyidagi o‘zgartirishni amalga oshirib
𝑎_𝑘 cos 𝑘𝜔₁𝑡 + 𝑏_𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡 =
_𝑎2 _𝑏2


= ^√𝑎² + 𝑏² ( ^𝑘 cos 𝑘𝜔₁𝑡 + ^𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡) =

𝑘 𝑘
√𝑎² + 𝑏²
√𝑎² + 𝑏²

𝑘 𝑘 𝑘 𝑘

= ^√𝑎² + 𝑏²⁽cos 𝜑_𝑘 cos 𝑘𝜔₁𝑡 − sin 𝜑_𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡⁾ = 𝐴_𝑘 cos⁽𝑘𝜔₁𝑡 + 𝜑_𝑘⁾,

𝑘 𝑘

bunda, tg𝜑_𝑘 = − ^𝑏𝑘 , 𝐴_𝑘 = √𝑎² + 𝑏², bo’lib, 𝑠_𝑟(𝑡) signalning Furye qatori

𝑎_𝑘
𝑘 𝑘

ikkinchi ko‘rinishini hosil qilamiz
∞

𝑠 ⁽𝑡⁾ = ^𝑎0 + ∑ 𝐴



cos⁽𝑘𝜔
𝑡 + 𝜑
⁾. (2.19)

𝑟 ₂
𝑘
𝑘=1
1 𝑘

Bu o‘rinda 𝜔_𝑘 = 𝑘𝜔₁ = 2𝜋𝑘𝑓₁ = 2𝜋𝑘/𝑇 belgilanishlar keng ishlatiladi. (2.19) ifodadagi 𝑎₀/2 va 𝐴_𝑘 koeffitsiyentlar majmui 𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ signalning
amplituda spektrini, 𝜑_𝑘 koeffitsiyentlar majmui – faza spektrini tashkil etadi. Davriy signalning amplituda va faza spektrlari 2.1-rasmda keltirilgan.

2.1-rasm. Davriy signalning amplituda (a) va faza (b) spektrlari
Furye kompleks qatori. Eyler formulalaridan foydalanib
cos 𝛼 = ¹ (𝑒^𝑗𝛼 + 𝑒^−𝑗𝛼), sin 𝛼 = ¹ (𝑒^𝑗𝛼 − 𝑒^−𝑗𝛼),

2 𝑗2
(2.16) qatorni quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin
∞



𝑠 ⁽𝑡⁾ = ^𝑎0 + ∑ [^𝑎𝑘 (𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡} + 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}) + ^𝑏𝑘 (𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡} − 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡})] =

𝑟 ₂
2
𝑘=1
∞
𝑗2
∞

= ^𝑎0 + ∑ ¹ (𝑎 − 𝑗𝑏



)𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡} + ∑ ¹ (𝑎 + 𝑗𝑏



_)𝑒−𝑗𝑘𝜔₁𝑡_.

_{2 2} 𝑘 𝑘
𝑘=1
₂ 𝑘 𝑘
𝑘=1

Kompleks amplitudani
^{1 (}𝑎 − 𝑗𝑏





⁾ = 𝐶 , ^{1 (}𝑎 + 𝑗𝑏



⁾ = 𝐶
(2.20)

₂ 𝑘 𝑘
𝑘 ₂ 𝑘 𝑘
−𝑘

va “manfiy” chastota 𝜔_−𝑘 = −𝑘𝜔₁ = −𝜔_𝑘 ya’ni 𝑘 ning o‘zgarish oralig‘iga
𝑘 < 0 qiymatlarni kiritib, (2.16) ifodani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz
∞

𝑠 ⁽𝑡⁾ = ^𝑎0 + ∑ 𝐶 𝑒^{𝑗𝜔𝑘𝑡} , 𝑘 ≠ 0.

𝑟 ₂
𝑘
𝑘=−∞

Ushbu ifoda Furye qatorining kompleks shakli deb ataladi. Agar quyidagi
qo‘shimcha o‘zgartirishni kiritsak, ya’ni 𝐶₀ = 𝐶₀ = 𝑎₀/2, Furye kompleks qatorini

quyidagicha ixcham ko‘rinishda yozish mumkin
∞
𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ = ∑ 𝐶_𝑘^̇
𝑘=−∞
𝑒^{𝑗𝜔𝑘𝑡} . (2.21)

Furye qatorining kompleks ko‘rinishi matematik o‘zgartirishlar (almashtirishlar)ni bajarishda qulaylik yaratishi bilan ahamiyatga ega.
(2.21) qatorning 𝐶_𝑘 koeffitsiyentlari 𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ davriy signalning 𝜔_𝑘, 𝑘 =

0, ±1, ±2, … chastotaning hamma qiymatlarida |𝐶_𝑘
|amplituda va 𝜑_𝑘 = 𝑎𝑟𝑔𝐶_𝑘
faza

spektrlari bilan aniqlangan diskret kompleks spektrini ifodalaydi. 2.2-rasmda |𝐶_𝑘|

amplituda spektri keltirilgan.

2.2-rasm. Davriy signalning Furye kompleks qatoriga yoyishdan foydalanilgandagi amplituda spektri

|𝐶_𝑘
| = |𝐶_−
𝑘| = 𝐶_𝑘 = 𝐴_𝑘/2 ekanligini inobatga olib, (2.21) qatorni kengroq

ko‘rib chiqamiz
∞
𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ = ∑ 𝐶_𝑘
𝑘=−∞
𝑒^{𝑗𝜔𝑘𝑡} = ⋯ + 𝐶_−
𝑘𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡} + ⋯ + 𝐶₀ + ⋯ + 𝐶_𝑘
𝑒𝑗𝑘𝜔₁𝑡 _{+ ⋯ ;}

va yana Eyler formulalaridan foydalanib, yig‘indini quyidagicha o‘zgartiramiz

𝐶_−
𝑘𝑒−𝑗𝑘𝜔₁𝑡 _{+ 𝐶𝑘}
𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡} = 2𝐶_𝑘 cos 𝜑_𝑘 cos 𝑘𝜔₁𝑡 − 2𝐶_𝑘 sin 𝜑_𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡 =

= 𝑎_𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡 + 𝑏_𝑘 sin 𝑘𝜔₁𝑡 = 2𝐶_𝑘 cos⁽𝑘𝜔₁𝑡 + 𝜑_𝑘⁾.
Bunda 𝑎_𝑘 = 2𝐶_𝑘 cos 𝜑_𝑘, 𝑏_𝑘 = −2𝐶_𝑘 sin 𝜑_𝑘 ekanligi e’tiborga olingan. (2.17) ifodani (2.20) ga qo‘yib, quyidagini olamiz

𝐶 = ^{1 (}


𝑇
) ¹ ( )


𝑇
¹ ( )

𝑘 ₂
𝑎_𝑘 − 𝑗𝑏_𝑘
= _𝑇 ∫ 𝑟 𝑡
0
cos 𝑘𝜔₁𝑡 𝑑𝑡 − 𝑗 _𝑇 ∫ 𝑟 𝑡
0
sin 𝑘𝜔₁𝑡 𝑑𝑡 =

𝑇
¹ ( )

−𝑗𝑘𝜔₁𝑡

= _𝑇 ∫ 𝑟 𝑡 𝑒
0
𝑑𝑡 . (2.22)

(2.22) formula bevosita 𝐶_𝑘
ishlatiladi.
, 𝑘 = 0, ±1, ±2, … qiymatlarni hisoblashda

Eslatma 1.
(2.17) va (2.22) ifodalardagi integral chegaralarini o‘zgartirish mumkin,
faqat integrallash oralig‘i butun davrga mos bo‘lishi kerak, ya’ni – 𝑇/2 dan

𝜆
𝑇/2 gacha, yoki −𝑇 dan 0 gacha va h.k. Bu holat 𝑇 davrli 𝑓(𝑡) davriy ^{funksiya uchun} ∫^{𝜆+𝑇 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 integralning qiymati 𝜆 ga bog‘liq emasligidan} kelib chiqadi. Ushbu munosabat amaliy masalalarni yechishda qulay hisoblanadi. Masalan (2.17) ifodada integral chegaralarini simmetrik, ya’ni
– 𝑇/2 dan 𝑇/2 gacha deb olsak, (2.17) qator quyidagilardan tashkil topganligini payqash qiyin emas, ya’ni agar 𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ funksiya juft bo‘lsa, faqat
𝑎_𝑘 koeffitsiyentli kosinusoidal garmonikalardan, agar 𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ funksiya toq bo‘lsa, faqat 𝑏_𝑘 koeffitsiyentli sinusoidal garmonikalardan iborat, bunda integrallash chegaralari 𝑎_𝑘 va 𝑏_𝑘 koeffitsiyentlarni hisoblashda qanday olinishiga bog’liq emas.


Eslatma 2.
Furye qatorlari bo‘yicha topilgan spektrlar ekvidistantligini ta’kidlab o‘tamiz, ya’ni qator koeffitsiyentlari albatta (zaruriy) 𝜔 = 0 tashkil etuvchi va
𝜔₁ = 2𝜋/𝑇 qadam bilan joylashuvchi ekvidistant ketma-ketlik (… , −2𝜔₁, −𝜔₁, 0, 𝜔₁, 2𝜔₁, … ) asosida hosil bo‘ladi. Koeffitsiyentlarning o‘zi esa har qanday qiymatni, shu jumladan nol qiymatni ham qabul qilishi mumkin.


Eslatma 3.
Davriy signallarni Furye qatorlariga yoyishda funksiyalar ortogonalligi to‘g‘risida so‘z boradi. Shuning uchun funksiyalarning ortogonalligi ta’rifini eslatib o‘tamiz: 𝛼̇₀⁽𝑡⁾, 𝛼̇₁⁽𝑡⁾, 𝛼̇₂⁽𝑡⁾, … , 𝛼̇_𝑚⁽𝑡⁾, . .. kompleks funksiyalar [𝑎, 𝑏] intervalda ortogonal hisoblanadi, agar quyidagi shart bajarilsa
∫^{𝑏 𝛼̇𝑚(𝑡)𝛼̇𝑛(𝑡)𝑑𝑡 = 0 agar 𝑚 ≠ 𝑛 va} ∫^{𝑏|𝛼̇𝑚(𝑡)|2𝑑𝑡 ≠ 0. (2.23)}
𝑎 𝑎
Ko‘rib chiqilgan garmonik Furye qatorlari uchun [𝑎, 𝑏] ortogonallik intervali 𝑇/2𝜋/𝜔₁ hisoblanadi, 𝛼̇₀⁽𝑡⁾, 𝛼̇₁⁽𝑡⁾, 𝛼̇₂⁽𝑡⁾, … , 𝛼̇_𝑚⁽𝑡⁾, . .. funksiyalarni esa 𝑒^{±𝑗𝑘𝜔1𝑡} kompleks eksponentalar yoki cos 𝑘𝜔₁𝑡, sin 𝑘𝜔₁𝑡 funksiyalar tashkil etadi (buni (2.23) ifoda orqali bevosita tekshirib ko‘rish mumkin).

Ba’zi davriy signallarning spektrlari

To‘g‘ri to‘rtburchakli videoimpulslar ketma-ketligi. 2.3-rasmda keltirilgan signalning spektrini ko‘rib chiqamiz. Ushbu signal turli radiotexnik jarayonlarda, uning modeli esa nazariy radiotexnikada juda keng ishlatiladi.

2.3-rasm. To‘g‘ri to‘rtburchakli videoimpulslar ketma-ketligi

Signalning 𝑇 intervaldagi analitik ifodasi quyidagicha:

𝑈, 𝑡 ∈ [− ^𝑟

𝑟
𝑟⁽𝑡⁾ = { ²
0, 𝑡 ∉ [−

𝑟
, ₂],
, ^𝑟].

(2.24)

2 2
To‘g‘ri to‘rtburchakli impulsning davomiyligi 𝑟 tushunchasini kiritamiz.
Furye kompleks qatori (2.21) dan foydalanamiz

_𝐶𝑘̇

= ¹ ∫ 𝑟⁽𝑡⁾𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡 = ¹

𝑇 𝑇
⁽𝑇⁾
𝑐 2
𝑐 2
∫ 𝑈𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑𝑡 =

−
𝑐 2

= − ^𝑈
𝑗𝑘𝜔₁𝑇
∫ 𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡}𝑑⁽−𝑗𝑘𝜔₁

−
𝑐 2
𝑡⁾ = − ^𝑈
𝑗𝑘𝜔₁𝑇
−𝑗𝑘𝜔₁𝑡 ^𝑟/2

𝑒 |

=
−𝑟/2

𝑗𝑘𝜔₁𝑐 𝑗𝑘𝜔₁𝑐

_𝑈 𝑗𝑘𝜔₁𝑐
𝑗𝑘𝜔₁𝑐
2𝑈 𝑒
2 _{− 𝑒}⁻ 2

^{= −} 𝑗𝑘𝜔₁𝑇
{𝑒^−
2 − 𝑒
² } =

𝑘𝜔₁𝑟

𝑘𝜔₁𝑇

𝜋

𝜋
𝑘𝑟
𝑗2 ⁼
𝑘

₌ 2𝑈
_sin 𝑘𝜔₁𝑟 ₌ 𝑈𝑟 ^sin _2
𝑈𝑟 sin
=
^𝑇 𝜋 = ^𝑈 sin ^𝑞 𝜋 . (2.25)

𝑘𝜔₁𝑇
2 𝑇
𝑘𝜔₁𝑟
2
_𝑇 𝑘𝑟
𝑇
_𝑞 𝑘
𝑞

Bunda integrallash chegaralari 0 va 𝑇 lar o’rnida 𝑇 interval bo‘yicha zarur integrallashni ko‘rsatuvchi (𝑇) belgilashdan foydalanilgan (1-eslatmaga qarang). Qulay integrallash chegaralari birorta aniq 𝑟(𝑡) signal (funksiya)ning ifodasini integral ostiga olish jarayonida yuzaga keladi.
𝑘

lim
𝑘→0

sin _𝑞 𝜋



𝑘

𝜋
𝑞
𝑈
= 1, 𝐶₀ = _𝑞
𝑈𝑟
= _𝑇 .

𝐶₀ qiymati va 𝐶_𝑘
koeffitsiyentlari ketma-ketlik kovakligi deb ataluvchi

^𝑇 = 𝑞 ning aniq qiymatlari uchun (2.25) ifoda orqali aniqlanadi. 𝑘 = 𝑞, 2𝑞, 3𝑞, …
𝑐
tartib raqamli koeffitsiyentlarning qiymati nolga teng. Amplituda diskret spektri

|𝐶_𝑘
| og‘uvchisining shaklini tahlil qilib, uni |^{𝑈 sin 𝑥}| funksiya sifatida ekanligini

𝑞 𝑥
payqash qiyin emas (bunda, sinusning diskret argumenti ^𝑘𝜋 ni uzluksiz argument
𝑞
𝑥 ga almashtiriladi). Amplituda 𝑈 = 1 va kovaklik 𝑞 = 6 ga teng bo‘lgan

signalning |𝐶_𝑘
| spektri va spektr og‘uvchisi (punktir chiziq) 2.4-rasmda keltirilgan.

2.4-rasm. To‘g‘ri to‘rtburchakli videoimpulslar ketma-ketligining amplituda

spektri (𝑞 = 6)

To‘g‘ri to‘rtburchakli videoimpulslar ketma-ketligining kovakligi 𝑞 = 2
bo‘lgan holat uchun Furye qatoriga yoyish kompleks koeffitsiyentlari quyidagicha bo‘ladi
_𝑈 sin 𝑘 ^𝜋

𝐶_𝑘 = _2
𝜋 ² , (2.26)
𝑘 ₂

2
demak, 𝐶₀ = ^𝑈 , 𝐶₁
= ^𝑈 , 𝐶

2
𝜋
,4,… ^{= 0, 𝐶}3
= − ^𝑈
3𝜋
, 𝐶_5
= 𝑈 5𝜋
, … .

Furye qatoriga yoyilmasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi

𝑠 ⁽𝑡⁾ = ⋯ + ^𝑈 𝑒^{−𝑗5𝜔1𝑡} − ^𝑈




_𝑒−𝑗3𝜔₁𝑡
^𝑈 −𝑗𝜔₁𝑡


𝑈 𝑈



^{𝑗𝜔1𝑡} − ^𝑈 𝑒^{𝑗3𝜔1𝑡} + ⋯. (2.27)

^𝑟 5𝜋
3𝜋
+ _𝜋 𝑒
+ ₂ + _𝜋 𝑒
3𝜋

Har bir juft ^𝑈
𝑘𝜋
(𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡} + 𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡}) tashkil etuvchini Eyler formulasi asosida

quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

^𝑈 (𝑒^{−𝑗𝑘𝜔1𝑡} + 𝑒^{𝑗𝑘𝜔1𝑡}) = ^2𝑈 cos 𝑘𝜔

𝑡,

𝑘𝜋
𝑘𝜋 ¹

va natijada (2.27) qator quyidagi soddaroq ko‘rinishga ega bo‘ladi:

𝑠_𝑟

⁽𝑡⁾ = ^{2𝑈 𝜋}

{
𝜋 4

+ cos 𝜔₁𝑡 −

1
₃ cos 3𝜔₁𝑡 +
1
₅ cos 5𝜔₁𝑡 −
1
₇ cos 7𝜔₁𝑡 + ⋯ } . (2.28)

2.3-rasmda keltirilgan ketma-ketlik juft signal bo‘lganligi uchun, (2.28) ifodani (2.16) shakldagi 𝑏_𝑘 = 0 koeffitsiyentli Furye qatori sifatida ham yoki (2.19) shakldagi Furye qatori sifatida ham qarash mumkin. Keyingi holatda, ya’ni Furye qatorining ikkinchi ko‘rinishi sifatida qaralganda faza spektri 𝜑_𝑘 yoyilma garmonikalari oldidagi tegishli belgilarni “ta’minlaydi”, shuning uchun ham
𝜑₁ = 0, 𝜑₃ = −𝜋, 𝜑₅ = −2𝜋, 𝜑₇ = −3𝜋, … qiymatlarni qabul qiladi, va natijada

{
𝑠 ⁽𝑡⁾ = ^{2𝑈 𝜋} + cos 𝜔



1

(
𝑡 + cos 3𝜔



1

) (
𝑡 − 𝜋 + cos 5𝜔



𝑡 − 2𝜋⁾ + ⋯ }.

^𝑟 𝜋 4
1 ₃ 1 ₅ 1

O‘quvchilarga mashq sifatida quyidagi 2.5-rasmda keltirilgan signalning Furye qatoriga yoyilmasini topishni tavsiya etamiz. Chunki ushbu signal turli radiotexnik jarayonlarda ko‘plab ishlatiladi va bu turdagi signal meandr deb nomlanadi.

2.5-rasm. Meandr

𝑠_𝑟⁽𝑡⁾ analitik meandr signalini shakllantiruvchi 𝑇 intervaldagi 𝑟⁽𝑡⁾ ketma- ketlik quyidagicha yoziladi:

𝑈 _,


𝑇 𝑇

𝑟⁽𝑡⁾ = { ²
𝑡 ∈ [− , ],
4 4

𝑈 𝑇
− ₂ , 𝑡 ∈ [₄
3𝑇
, ₄ ].

Yuqorida ko‘rib chiqilgan to‘g‘ri to‘rtburchakli videoimpulslar ketma-ketligi meandr va 𝑈/2 doimiy tashkil etuvchining yig‘indisidan iborat ekanligini payqash qiyin emas, va (2.27) yoyilmada 𝐶₀ = 𝑈/2 ning mavjudligi esa bunga dalil bo‘ladi.
Meandr va to‘g‘ri to‘rtburchakli videoimpulslar ketma-ketligining yoyilmasidan ( 𝑞 = 2 bo‘lgan hol uchun) shuni kuzatish mumkinki, yoyish koeffitsiyentlarining qiymati 1/𝑘 qonuniga mos ravishda kamayib boradi.