Asosiy elementar funksiyalar va ularning uzluksizligi

ASOSIY ELEMENTAR FUNKSIYALAR VA ULARNING UZLUKSIZLIGI

MAVZU REJASI:

1.TRIGONOMETRIK FUNKSIYALAR.

2.TESKARI TRIGONOMETRIK FUNKSIYALAR.

“Trigonometriya” so’zi grekcha “trigonon”- uchburchak va “metrezis”- o’lchash iborasidan tuzilgan bo’lib, buni o’zbekcha “üchburchak o’lchash” desa bo’ladi. Trigonometriyaning asosiy vazifasi uchburchaklarni yechishdan, ya’ni uchburchakning boshqa miqdorlarining ma’lum qiymatlariga ko’ra noma’lum miqdorlarini hisoblashdan iboratdir.

Masalan, trigonometriyada uchburchakning burchaklarini uning ma’lum tomonlariga ko’ra hisoblab topishga, uchburchakning tomonlarini uning yuzi va ikki burchagiga ko’ra hisoblab topishga doir masalalar yechiladi. Geometriyaning har qanday hisoblash masalalarini uchburchaklarni yechishga keltirish mumkin bo’lgani uchun trigonometriya butun planimetriyaga va stereometriyaga va , shuningdek, tabiiyot fanining va texnikaning hamma bo’límlariga keng tatbiq etiladi.

Har bir trigonometrik miqdorning qiymati o’ziga mos burchakning o’zgarishiga qarab o’zgaradi; boshqacha aytganda trigonometrik miqdor burchakning funksiyasidir. Trigonometrik funksiyalar nomi ana shundan kelib chiqqan.

y=sint , y=cost ,y=tgt va y=ctgt formulalar bilan aniqlangan funksiyalar asosiy trigonometrik funksiyalar deyiladi. Ularning ayrim asosiy xossalarini keltiramiz. 1*. y=sint funksiya chegaralangan funksiya va barcha o’rinli . Isbot. Biror tR uchun bo’lsin. U holda = uchun t +t = + +o =, ya’ni t +t tengsizlikka ega bo’lamiz.

Demak, barcha t sonlar uchun munosabat o’rinli va sint funksiya chegaralangan funksiyadir. 2*.y=cost funksiya chegaralangan va barcha t lar uchun munosabat o’rinli. Isbot. da ot bo’lgani uchun t = 1 -t bo’ladi. Oxirgi tengsizlikdan , da ekani ko’rinadi.

Demak, cost funksiya chegaralangan funksiya va . 1*, 2* - xossalardan , y=sin x va y=cosx funksiyalardan har birining qiymatlar sohasi kesmadan iborat ekanligi kelib chiqadi. Trigonometrik funksiyalarning davriyligi. Trigonometrik funksiyalarning davriyligi haqidagi teoremalarni keltiramiz.

1- teorema. Cost va sint funksiyalarning har biri davriy funksiya va ularning asosiy davri 2 ga teng. Isbot. Ixtiyoriy t son uchun K(t), L(t+2), M(t-2) nuqtalar koordinatali aylanada ustma-ust tushadi .