Arnawli bilimlendiriw ministrligi

§.2 Avtonomiyalı sistemalar sheshimleriniń

qasiyetleri

Endi avtonomiyalı sistemanıń sheshimleriniń qásiyetlerin úyrenemiz.

1. Eger y= - avtonomiyalı sistemanıń sheshimi bolsa, onda C qálegen turaqlı bolǵanda y= vektor-funkciyası da (3) sistemanıń sheshimi boladı.

Bul tastıyıqlaw (3) teńlemesi x tı x+C menen almastırǵanda ózgermeytuǵınlıǵı kelip shıǵadı. Haqıyqatında da,

f ( )

Birdeyligi y= sheshimi ekenligin ańlatadı.

2. Eger y= hám y= -berilgen (3) teńlemeniń eki sheshimi bolsa hám bolsa, onda = , bunda C=x₁-x₂. Basqasha etip aytqanda, y= hám y= traektoriyalar ulıwma noqatqa iye bolsa, onda bul traektoriyalar ústpe-úst túsedi.

Dálillew.1- qásiyetke kóre y= , C=x₁-x₂ – sistemanıń sheshimi, al teńlikke muwapıq,

.

Solay etip, y= hám y= sheshimler x₁=x₂ bolǵanda birdey baslanǵısh shártlerdi qanaatlandıradı hám birden-birlik teoremasına muwapıq ústpe-úst túsedi, yaǵnıy

=

3. Avtonomiyalıq sistemalardıń shehimleri gruppalıq qásiyetke iye: eger y= (x,y₀) – (3) sistemanıń =y₀ baslanǵısh shártin qanaatlandıratuǵın sheshimi bolsa, onda

(x, (s,y₀ ))= (x+s,y₀)

teńligi orınlı.

Dálillew. Meyli y₁= ₁(s,y₀) bolın. Sonda ₁(x)= (x,y₁) – (3) sistemanıń sheshimi boladı hám 1- qásiyetke muwapıq, ₂(x)= (x+s,y₀) de (3) sistemanıń sheshimi bolıp, bunda

₁(0) = ₁(0,y₁) = y₁ , ₂(0) = ₁(s,y₀) = y₁

boladı.

Demek ₁(x) hám ₂(x) sheshimler (3) sistemanıń birdey baslanǵısh shártlerdi qanaatlandıradı. Al birden-birlik teoremasına muwapıq,

₁(x) = ₂(x) yamasa (x, (s,y₀ ))= (x+s,y₀)

1-Anıqlama: Eger f(a)=0 teńligi orınlansa, onda y=a noqatı (3) avtonomiyalı sistemanıń teń salmaqlılıq ahwalı dep ataladı.

Teń salmaqlılıq ahwalı avtonomiyalıq sistemanıń tınıshlıq noqatı depte aytıladı.

4. Eger a – teń salmaqlılıq ahwalı bolsa, onda

y(x) vektor-funkciya (3) avtonomiyalı sistemanıń sheshimi boladı.

Haqıyqatında da,

, f(y(t)) = f(a) = 0.

Bunnan tómendegi tastıyqlaw kelip shıǵadı.

5. Eger a – teń salmaqlılıq ahwalı bolsa, onda x = a noqatı fazalıq traektoriya boladı.

6. Noqqattan ózgeshe bolǵan fazalıq traektoriya tegis iymek sızıq boladı (yaǵnıy hár bir noqatında nóllik emes urınba vektorǵa iye).

Haqıyqatında da, eger y=φ(x) – (3) avtonomiyalı sistemanıń sheshimi bolsa, onda y⁰ = φ(x_o) noqattaǵı urınba vektor ǵa teń. (3) avtonomiyalı sitemaǵa muwapıq, bul vektor f(y⁰) ge teń, al f(y⁰) ≠ 0.

Eger (3) teńlemeniń oń jaǵındaǵı x anıq túrde berilse

= f(x,y)

normal sisteması avtonomiyalı emes sistema dep ataladı. Bul sistemanı avtonomiyalı emes sistema túrine alıp keliwge boladı. Bunıń ushın jańa y_n+1 =x funkciyasın kirgizip, onı y₁, y₂,…,y_n , y_n+1 ózgeriwshileriniń keńisligindegi

=f(y_n+1,y), =1

kórinisindegi avtonomiyalıq sistematúrinde jazıwǵa boladı.

Eger bul sistemalarda ǵárezsiz ózgeriwshi x waqıttı ańlatsa onda bul differencial sistemalar dinamikalıq sistemalar dep atladı.

Eger (3) teńlemeniń oń jaǵındaǵı x anıq túrde berilse

= f(x,y)

normal sisteması avtonomiyalı emes sistema dep ataladı. Bul sistemanı avtonomiyalı emes sistema túrine alıp keliwge boladı. Bunıń ushın jańa y_n+1 =x funkciyasın kirgizip, onı y₁, y₂,…,y_n , y_n+1 ózgeriwshileriniń keńisligindegi

=f(y_n+1,y), =1

kórinisindegi avtonomiyalıq sistematúrinde jazıwǵa boladı.

Eger bul sistemalarda ǵárezsiz ózgeriwshi x waqıttı ańlatsa onda bul differencial sistemalar dinamikalıq sistemalar dep atladı.

Eger f(a)=0 teńligi orınlansa, onda y=a noqatı (3) avtonomiyalı sistemanıń teń salmaqlılıq ahwalı dep ataladı.

Teń salmaqlılıq ahwalı avtonomiyalıq sistemanıń tınıshlıq noqatı depte aytıladı.