Aripova diloromning

3. Tengsizliklarni yechish usullari

Tengsizliklarni yechishda intervallar metodi ko’p qo’llaniladi. U quyidagidan iborat. Faraz qilaylik, bizga biror ratsional (qat’iy holda) tengsizlik berilgan bo’lsin. Uni yechish uchun avvalo, ratsional funksiyaning barcha nullari(kritik nuqtalari) topiladi. Bu nullar(kritik nuqtalar) sonlar o’qi ustiga joylashtiriladi va natijada butun sonlar o’qi intervallarga ajraladi. Ularning har birida tengsizlikning chap tomoni o’z ishorasini saqlaydi. Chap tomondagi funksiyaning butun intervaldagi ishorasini aniqlash uchun shu intervaldan bitta nuqta olib, uning ishorasini bilish kerak va bunda shu intervalning yechimlar to’plamiga kirish kirmasligini aniqlash kerak. Nullar va kritik nuqtalarning o’ziga kelsak, qat’iy tengsizlik qaralganda ular yechimlar to’plamiga kirmaydi. Noqat’iy tengsizlik uchun ular yechimlar to’plamiga kiradi. Kasr tengsizlik holida faqat, ular maxrajidagi ko’phadning ildizi bo’lmasligi kerak.

Shuni eslatib o’tamizki, bu metod faqatgina va ko’phadlarning nullari ma’lum bo’lgandagina qo’llaniladi.

Bu usulning qo’llanishini misollar yordamida tushuntiramiz.

Misollar. 1. tengsizlikni yeching.

Yechish. Chap tomondagi ratsional funksiyaning ko’paytuvchilarga ajratamiz:

va ning ishorasini aniqlaymiz. Buni quyidagi jadval orqali aniqlash qulay

	-	+	+	+
	-	-	+	+
	-	-	-	+
	-	+	-	+

Bundan ko’rinadiki, tengsizlik va intervallarda bajariladi. Demak, tengsizlikning yechimi to’plamdan iborat. Bu yerda bajarilgan ishni ko’rgazmali tasavvur qilish uchun ishoralar egri chizig’idan foydalanish mumkin.

( tengsizlikning yechimi to’plamdan iborat).

2. tengsizlikni yeching.

Yechish. Barcha hadlarni bir tomonga o’tkazib

tengsizlikka ega bo’lamiz. Bu ratsional funksiyaning kritik nuqtalari , , , lardan iboratligini ko’rish qiyin emas.

Xuddi yuqoridagidek, quyidagi jadvalni tuzamiz va ning har bir intervaldagi ishorasini aniqlaymiz.

	-	+	+	+	+
	-	-	+	+	+
	-	-	-	+	+
	-	-	-	-	+
	+	-	+	-	+

Shunday qilib, tengsizlikning yechimlar to’plami ). tengsizlikning yechimi to’plamdan iborat).

Endi yuqorida ko’rilgan tengsizliklarda ñ d, ko’rinishda chiziqli funksiyalardan iborat bo’lgan sodda holni qaraymiz. Bu holda ( ) chiziqli yoki birinchi darajali bir o’zgaruvchili (noma’lumli) tengsizlik deyiladi.

Har qanday bir o’zgaruvchili tengsizlikni

(1)

ko’rinishga keltirish mumkin.

Yuqoridagi 1 – teoremaning natijasiga ko’ra, (1) tengsizlikni ko’rinishda, bo’lganda esa 2 – teoremaning natijasiga ko’ra, uni deb yozish mumkin. Demak, berilgan tengsizlik ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha haqiqiy qiymatlarida o’rinli bo’ladi. Bu qiymatlar geometrik usulda sonlar to’g’ri chizig’ining nuqtasidan o’ngda yotgan qismi bilan tasvirlanadi. (1) tengsizlikning yechimi to’plamdan iborat.

Agar bo’lsa, tengsizlikka kelamiz, ya’ni berilgan tengsizlik ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida o’rinli bo’ladi. Bu qiymatlar son o’qida nuqtadan chapda yotgan qismi bilan tasvirlanadi.

Bu holda (1) tengsizlikning yechimi to’plamdan iborat.

Agar , bo’lsa, u holda (1) tengsizlik ning har qanday haqiqiy qiymatlarida noto’g’ri tengsizlikka aylanib yechimga ega bo’lmaydi.

Agar , bo’lsa, (1) tengsizlik ning har qanday haqiqiy qiymatlarida to’g’ri bo’lib, har qanday haqiqiy son uning yechimi bo’ladi.

Misollar 1. tengsizlikni yeching.

Teng kuchli tengsizliklar haqidagi teoremalar va ularning natijalariga ko’ra, ni tengsizlikning o’ng tomoniga, ni esa chap tomoniga o’tkazib, ni va so’ngra ni topamiz. tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalarni son o’qida tasvirlash qulay.

Demak, berilgan tengsizlikning yechimi dan iborat.

Shuni eslatib o’tamizki, berilgan misolda o’rnida belgi turgan bo’lsa, uning yechimi dan iborat bo’ladi, ya’ni 5 ham yechimlar to’plamiga qarashli bo’ladi.