Arifmetik funksiyalar tushunchasi butun koordinatali nuqtalari xaqida

1-Teorema. d(n)- multiplikativ funksiya.
2-Teorema. Agar bo’lsa, U holda
.
d(n)- funksiyasini ham geometrik talqin qilish mumkin. d(n) arifmetik funksiya bu menglamaning butun musbat sonlardagi yechimi sonini, ya’ni o‘ng yuqori kvadratdagi giperbolada yotuvchi butun nuqtalar sonini bildiradi.
2. d(n) ning o‘sish tartibi. 2-Teoremadan ko‘rinadiki. d(n) funksiya
istalgancha katta qiymatlar qabul qilishi mumkin. Ikkinchi tomondan esa bo’lsa, d(n)=2. Demak, .
3-Teorema.Har bir soni uchun

shartni qanoatlantiruvchi n_i-butun sonlar ketma-ketligi mavjud.

Isboti. bo‘lgani uchun, к butun sonini ushbu shartni qanoatlantiruvchi qilib aniqlaymiz. Faraz etaylik - chi tub son bo‘lsin va

Bu yerda i ixtiyoriy musbat butun son. 2-Teoremaga ko’ra

Bu yerda с doimiy son n_i ga bog‘liq emas.

(2) da i=1,2,3, … deb olib musbat butun sonlar ketma-ketligiga ega bo’lamiz va

tengsizlik o‘rinli bo’ladi. Agarda biz deb olsak, (4) dan

Teorema isbot bo‘ldi.
Ikkinchi tomondan quyidagi Teorema o‘rinli.
4-Teorema.

Bu Teoremani isbotlash uchun biz quyidagi lemmadan foydalanamiz.
Lemma. Agar f – multiplikativ arifmetik funksiya va
(Bu yerda р-tub, m-musbat butun son.) bo’lsa, (ya’ni n tub sonlarning darajalariga teng bo‘lganda bo’lsa), U holda bo’ladi.
Isboti. Lemma shartiga ko’ra ; shuning uchun ham f funksiya ushbu shartlarni qanoatlantiradi:
Barcha m va p lar uchun
I) shartni qanoatlantiruvchi А musbat doimiy mavjud;
II) Shunday В doimiy soni mavjudki, agar bo’lsa,
III) bo’lsa, U holda bo’ladi.
Tushunarliki, А va В lar , m va р larga bog‘liq emas,  esa faqat  ga bog‘liq.
Faraz etaylik.

n>1- sonining kanonik yoyilmasi bo‘lsin.f – multip-likativ bo‘lgani uchun

Barcha tub son darajada р^ larni qaraymiz.
Faraz etaylik (5) dagi р^ shartni qanoatlantiruvchi tub son darajalarining soni bo‘lsin. Bularga mos keluvchilar uchun (5) da ni qo‘llaymiz. Ularning ko’paytmasi absolyut qiymat jihatdan А^ dan kichik. qolganlari uchun esa ni qo‘llaymiz ularning ko’paytmasi absolyut qiymat jihatdan 1 dan kichik.
Tushunarliki N() dan oshmaydigan р^ ko‘rinishdagi sonlar soni chekli. Shuning uchun ham kanonik yoyilmasidagi ko’paytuvchilar faqat р^N() shartni qanoatlantiruvchi chekli sondagi butun sonlar mavjud. p()- ana shu shartni qanoatlantiruvchi butun sonlarning yuqori chegarasi (ya’ni eng kattasi bo‘lsin(
Agarda biz debolsak, U holda n ning kanonik yoyilmasida hech bo‘lmasa birta shartni qanoatlantiruvchi р^ ko’paytuvchi mavjud bo’ladi. Bundan ko’paytuvchilar uchun (6) da biz (III) dan foydalanamiz, U holda
Demak, agar bo’lsa, U holda _.Bu yerda kelib chiqadi.
4-Teoremaning Isboti. funksiyani qaraymiz.
Bu funksiya multiplikativ va

va biz isbotlangan Lemmani qo‘llab
ga ega bo’lamiz. Teorema исбот бўлди.
Umuman bajariladi. Shuning bilan birga nning cheksiz ko’pqiymatlari uchun

tengsizlik o‘rinli bo’lishini ko‘rsatish mumkin.

3.Dirixle –L funsiyasining (xossalari)(nollari)(kompleks nollari.)(nollari joylashgan sohaning chegarasi)