59
Апрель 2021 17-қисм
Тошкент
bu yerda
( )
g z
-polinom,
1
( ,..., )
n
z
z
z
,
S
musbat butun son.
Lemma. Agar qo‘shma
K
to’plam bog‘lamli va
K
to’plam
M N
to‘plam bilan kesishmasa, u holda ixtiyoriy
0
son uchun quyidagi ratsional
funksiyani qurish mumkin:
1
1
( )
( )
S
n
n
P z
R z
b z
,
bu yerda
( )
P z
- shunday polinomki
K
to’plamda
| ( )
( ) |
R z r z
shartni qanoatlantiradi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Г.Худайберганов. О полиномиальной и линейной выпуклостях, задаче
Каратеодори-Фейера и оценках для голоморфных вектор-функций в
n
.
Препринт. 1974 г., 30 стр.
2. Б.В.Шабат.
Введение в комплексный анализ, Москва 1976.
3. А.И.Маркушевич. Теория аналитических функций. том I. Начало теории,
Москва 1957.
60
Апрель 2021 17-қисм
Тошкент
NOSTANDART TENGLAMALARNI FUNKSIYANING SODDA XOSSALARIDAN
FOYDALANIB YECHISH USULLARI
Babadjanov Azamat Kadamovich, Otayev Hamza Xudayberganovich
XVXTXQTMOHM “Aniq va tabiiy fanlar metodikasi” kafedrasi o‘qituvchisi
Xiva shahridagi Prezident maktabi matematika fani o‘qituvchisi
Telefon:+998(99)966-94-74 otayev84@mail.ru
NOSTANDART
TENGLAMALARNI
FUNKSIYANING
SODDA
XOSSALARIDAN FOYDALANIB YECHISH USULLARI
Babadjanov Azamat Kadamovich, Otayev Hamza Xudayberganovich
XVXTXQTMOHM “Aniq va tabiiy fanlar metodikasi” kafedrasi o‘qituvchisi
Xiva shahridagi Prezident maktabi matematika fani o‘qituvchisi
Telefon:+998(99)966-94-74
otayev84@mail.ru
Annotatsiya: Ushbu maqolada nostandart tenglamalar va ularni yechishda
funksiyaning soda xossalaridan foydalanish usullari haqida fikr yuritilgan.
Kalit so‘zlar: Nostandart tenglama, aniqlanish sohasi, chet ildiz, qiymatlar
sohasi, yengsizlik, ildiz, xossa.
Ushbu maqoladada bir qarashda murakkab, qiyin ko‘rinadigan ba’zi
tenglamalarni ularda qatnashayotgan funksiyalarning sodda xossalari yordamida
yechish usullari qaraladi.
Aniqlanish sohasidan foydalanish. Ba’zi hollarda, tenglama yoki
tengsizliklarda qatnashayotgan funksiyalarning aniqlanish sohasini bilish tenglama
yoki tengsizlikning yechimi mavjud emasligini bilishga yoki yechimini topishga
yordam beradi.
1-misol.
3 lg
3
x
x
tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi
3 0
x
va
3 0
x
tengsizliklarni
bir vaqtda qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamidan iborat. Tenglamaning aniqlanish
sohasi bo‘sh to‘plam, demak tenglama yechimga ega emas.
Javob: ildizi yo‘q.
Shunday qilib, tenglamani yechmasdan uning ildizlari yo‘qligini aniqladik.
2-misol.
4
2
4
2
4
16
x
x
x
tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi
2
4
0
x
va
4
16 0
x
tengsizliklarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamidan iborat. Bundan
tenglamaning aniqlanish sohasi faqat -2 va 2 sonlardangina iborat ekanligini
ko‘rish qiyin emas. Bu sonlarni tenglamaga qo‘yib tekshiramiz.
2
x
da tenglamaning chap tomoni 2 ga, o‘ng tomoni –2 ga teng, demak
2
x
tenglamaning ildizi bo‘la olmaydi.
2
x
da tenglamaning chap va o‘ng tomonlari 2 ga teng, demak
2
x
tenglamaning ildizi bo‘ladi. Javob:
2
x
.
Funksiyaning chegaralanganligidan foydalanish.
3-misol.
2
sin 2
1
2
3
x
x
x
tenglamani yeching.
Yechish:
Ixtiyoriy
x
son
uchun
sin 2
1 1
x
va
2
2
2
3
1
2 2
x
x
x
o‘rinli, ya’ni tenglamaning chap tomoni 1 dan
katta, o‘ng tomoni 2 dan kichik bo‘la olmaydi. Bundan berilgan tenglamaning
ildizi yo‘q ekanligi kelib chiqadi.
Javob: ildizi yo‘q.
61
Апрель 2021 17-қисм
Тошкент
4-misol.Tenglamani
nechta
ildizi
bor.
2
2
2
3
6
7
5
10
14 4 2
x
x
x
x
x x
Yechish.Tenglamaning chap qismini shakl almashtirib,
y
x
funksiyani
o‘suvchiligidan foydalanamiz.
2
2
3
6
7
5
10
14
x
x
x
x
2
2
3
1
4
5
1
9
4
9 2 3 5
x
x
Tenglamaning o‘ng qismini shakl almashtirib,
2
2
4 2
5
1
5
x x
x
U holda berilgan tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli
2
2
2
3
1
4
5
1
9 5
5
1
5
x
x
x
2-tenglamadan
1
x
ildizni topamiz. Bu ildiz sistemaning 1- tenglamasini
qanoatlantiradi.
Javob:
1
x
5-misol.Tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping.
2
2
4
4 3
3 4
4
2
x
x
x
x
Yechish. Tenglamaning chap va o‘ng qismini shakl almashtiraylik.
2
2
2 1
2
4
4 3
2
2
2
2
4,
x
x
x
2
2
3 4
4
4
2
1
4
x
x
x
. U holda
2-teoremaga asosan berilgan tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng
kuchli:
2
2
2 1
2
1
4 2
1
4
1
2
1
2
2
4
2
x
x
x
x
x
ildizni topamiz.
Javob:
1
2
x
6-misol.
2
cos
0
x
x
tenglamani yeching.
Yechish.
( ) 2
x
f x
va
( ) cos
g x
x
funksiyalarni qaraymiz.
Ravshanki,
( ) 2
x
f x
funksiya
(
;
)
da aniqlangan, uzluksiz va
0
x
nuqtada o‘zining eng kichik qiymatiga yerishadi:
(0) 1
f
.
( ) cos
g x
x
funksiya ham
(
;
)
oraliqda aniqlangan, va uzluksiz bo‘lib,
1
( ) 1
g x
ekanligi aniq.
0
x
da
0 1
g
ekanligini ye’tiborga olsak,
2
cos
0
x
x
tenglama yagona
0
x
ildizga ega ekanligini ko‘rishimiz
mumkin.
Javob:
0
x
