Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari

1.3.5-teorema. intervalda aniqlangan, uzluksiz va funksiyalar uchun ushbu shartlar bajarilgan bo’lsin:

1. 
   , ;
   
2. 
   da chekli va hosilalar mavjud va
   
3. 
   -chekli yoki cheksiz).
   

U holda

tenglik o’rinli bo’ladi.

Isbot. hamda funksiyalarning nuqtada qiymatlari nolga teng, ya’ni

deb olsak, natijada

tengliklar o’rinli bo’lib, va funksiyalar oraliqda uzluksiz bo’ladi. nuqta olib, segmentda va funksiyalarni qaraymiz. Bu segmentda va funksiyalar Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. U holda Koshi teoremasiga ko’ra bilan orasida shunday nuqta topiladiki, ushbu

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglikdan esa (1.3.11) ga ko’ra

bo’lishi kelib chiqadi. Ravshanki, da . Demak,

1.3.5-misol. Ushbu

limitni hisoblang.

Bu holda

bo’lib, ular uchun 1.3.5-teoremaning barcha shartlari bajariladi.

Haqiqatan ham,

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

bo’ladi. U holda 1.3.5- teoremaga ko’ra

Shu 1.3.5-teoremadan, ya’ni Lopital qoidasidan foydalanib, muhim limitni osonlik bilan isbotlash mumkin. Haqiqatan,

1.3.2-eslatma.Yuqorida keltirilgan 1.3.5-teoremaning 3-sharti bajarilmaganda, ya’ni da va funksiyalarning hosilalari mavjud bo’lib, da nisbatning limiti mavjud bo’lmaganda ham

mavjud bo’lishi mumkin. Masalan, , bo’lsin. Bu funksiyalar uchun

bo’lib, da nisbat limitga ega emas. Biroq

bo’ladi.