Aniqmas integrallarni hisoblash

2-teorema. (12.5) hisoblash formulasining _n yaxlitlash xatolariga nisbatan turg`un bo`lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi yetarlidir:
1)
tenglama moduli bo`yicha birdan katta ildizga ega emas va
2) moduli birga teng bo`lgan ildizlar tubdir.
Isbot. Haqiqatan ham, teorema shartlari bajarilganda yechimlar,ular bilan birgalikda esa ta`sir funksiyalari chegaralangan bo`ladi, xususiy holda . Bundan va (12.15) tengsizlikdan teorema tasdig`i kelib chiqadi.
Shunday qilib, у<sub>i</sub>(i р) dastlabki qiymatlarni aniqroq hisoblash va <sub>п</sub> yaxlitlash xatolarini kamaytirish yo`li bilan bo`lganda doimo

bo`lishiga erishish mumkin. Bundan biz quyidagini aytishimiz mumkin: agar h 0 da bo`lsa, u holda (12.5) formula shubqasiz tekis yaqinlashuvchi hisoblash jarayoniga yo`l qo`yadi.
Faraz qilaylik, r=r(h) barcha п (р п N - 1) uchun xato absolyut qiymatining yuqori chegarasi bo`lsin: | r_п\ r. U holda

va
(12.17)
Bundan quyidagiga ega bo`lamiz.
3-teorema. Agar h 0 bo`lganda bo`lsa, u holda (12.5) formula tekis yaqinlashuvchi hisoblash jarayoniga yo`l qo`yadi.
4-teorema. Agar tenglamaning modul bo`yicha birdan katta ildizi mavjud bo`lmasa va moduli birga teng bo`lgan ildizi tub bo`lsa, u holda h 0 bo`lganda bo`lsa, (12.5) formula tekis yaqinlashuvchi hisoblash jarayoniga yo`l qo`yadi.
Isbot. Biz yuqorida ko`rganimizdek teorema shartlari bajarilganda, shunday М₁ soni topiladiki, barcha к р uchun bo`ladi va (12.17)dan quyidagi bahoga ega bo`lamiz:

Bundan esa teorema tasdig`i kelib chiqadi.