Aniq integralning tadbiqlari (Yassi shaklning yuzasi. Egri chiziq yoyi uzunligi, Hajmlarni hisoblash) Reja

3.1. Dekart koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi hisoblash.
Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq  tenglama bilan berilgan bo’lsin.

B u egri chiziqning x=a va x=b vertical to’g’ri chiziqlar orasidagi AV yoyining uzunligini topamiz AB yoyda abstsissalari  bo’lgan A, M₁, M₂,…,M_i,…B nuqtalarni olamiz va AM_1, M₁M₂,…M_n-1 B vatarlarni o’tkazamiz, ularning uzunliklarini mos ravishda  bilan belgilaymiz.

AB yoy ichiga chizilgan aniq chiziqning uzunligi

 bo’lgani uchun AB yoyning uzunligi

bo’ladi.

Faraz qilaylik,  funksiya va uning  hosilasi [a, b] kesmada uzluksiz bo’lsin.

U holda

Yoki Lagranj teoremasiga asosan

 bunda

 bo’lgani uchun

 bo’ladi

Ichki chizilgan siniq chiziqning uzunligi esa

 bo’ladi

Shartga ko’ra  funksiya uzluksiz. Demak,  funksiya ham uzluksizdir. Shuning uchun integral yig’indining limiti mavjud va u qo’yidagi aniq integralga teng.

Parametric ko’rinishda berilgan bo’lsin, bunda  uzluksiz hosilali uzluksiz funksiyalar va  berilgan oraliqda nolga aylanmaydi.

Bu holda (3) tenglama biror  funksiyani aniqlaydi.

Bu funksiya uzluksiz bo’lib  uzluksiz hosilaga ega,  bo’lsin (

Agar egri chiziq fazoda

Parametric tenglamalar bilan berilgan va  funksiyalar [a, b] kesmada uzluksiz hamda uzluksiz hosilalarga ega bo’lsa, egri chiziq aniq limitlarga ega bo’ladi va u

  Agar [ , ] a b kesmada f x( ) 0  bo’lsa, u holda, y f x  ( ) egri chiziq, Ox o’q hamda x a  , x b  to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi ( ) b a Q f x dx   (1) Agar f x( ) 0  [ , ] a b da bo’lsa, u holda ( ) b a f x dx  aniq integral ham  0 bo’ladi. Absolyut qiymati jihatidan u mos egri chiziqli trapetsiyaning Q yuziga teng: ( ) b a   Q f x dx  Agar f x( ) funksiya [ , ] a b kesmada chekli marta ishorasini o’zgartirsa, u holda butun [ , ] a b kesma bo’yicha olingan intervali qism-qism kesmalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz. Integral f x( ) 0  bo’lgan joylarda musbat va f x( ) 0  bo’lganda manfiy bo’ladi. Bunday holda | ( ) | b a Q f x dx   bo’ladi. Misol 1. y x  sin sinusoid ava Ox o’q bilan 0 2  x  bo’lganda Tekislikdagi egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. Maktab geometriyasida tekislikdagi egri chiziqlardan faqat aylana va uning yoylari uzunligini hisoblash formulasi beriladi. Parabola, giperbola, sinusoida kabi egri chiziqlarning turli yoylari uzunligini hisoblash masalasi amaliyotda kerak bo‘ladi. Bu masala ham aniq integral yordamida o‘z yechimini topadi.

у=f(x), x[a,b], funksiya bilan berilgan egri chiziqning AB yoyi uzunligini topish masalasini qaraymiz (78-rasmga qarang).


78-rasm

Bunda f(x) differensiallanuvchi va uning f′(x) hosilasi [a,b] kesmada uzluksiz deb hisoblaymiz. Berilgan [а,b] kesmani

а=х₀ <х₁<х₂< ∙∙∙<х_i-1<х_i< ∙∙∙<x_n=b

nuqtalar bilan ixtiyoriy n bo‘lakka ajratamiz. Natijada AB yoy n ta kichik A_i–1 A_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarga ajraladi.

Agar AB yoy uzunligi l va A_i–1 A_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalar uzunliklari Δl_i deb olsak, unda

deb yozish mumkin. Endi kichik A_i–1 A_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarni ularning vatari , ya’ni A_i–1A_i kesmalar bilan almashtiramiz. To‘g‘ri burchakli A_i–1A_iD uchburchakda

|A_i–1D|= x_i –x_i–1=Δ x_i , |A_iD|=f(x_i)–f(x_i–1)=Δ f(x_i)

katetlar bo‘yicha A_i–1A_i gipotenuza uzumligini Pifagor teoremasidan foydalanib topamiz:

. Bu yerda Δl_i ≈ |A_i–1A_i| deb, izlanayotgan yoy uzunligi l uchun ushbu taqribiy tenglikni hosil etamiz:



 .

Bu taqribiy tenglikdan aniq tenglikka o‘tish uchun n→∞, Δ_n→0 deb olamiz. Bu holda, hosila ta’rifiga asosan, deb olish mumkin. Shu sababli yuqoridagi L_n yig‘indini  funksiya uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi deb qarash mumkin. Unda, aniq integral ta’rifiga asosan, izlanayotgan yoy uzunligi l uchun quyidagi formulani hosil etamiz:

 . (6)

Misol sifatida y=lnsinx egri chiziqning x=π/3 va x=π/2 abssissali nuqtalari orasidagi yoyining uzunligini topamiz. Bunda y′=ctgx ekanligidan va universal almashtirmadan foydalanib, (6) formulaga asosan, ushbu natijani olamiz:

 .

Agar egri chiziq x=φ(t) , y=ψ(t) ( t[α, β]) parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, unda dx= φ′(t)dt , dy= ψ′(t)dt va

bo‘lgani uchun (6) formula quyidagi ko‘rinishga keladi:

 . (7)

Misol sifatida x=e^tcost , y=e^tsint (t[0,lnπ]) parametrik tenglamasi bilan berilgan egri chiziq yoyi uzunligini topamiz. Bunda