Aniq integralning tadbiqlari

3. Aylanish jismini hajmi
formula bilan berilgan egri chiziqning kesmada o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini topish talab qilinsin. y
y
0 a x x+h b x
Aylanish jismini ga perpendikulyar tekislikdar bilan ta bo`laklarga ajratamiz. Perpendikulyar tekisliklarning biri 0 nuqtadan masofada, ikkinchi tekislik masofada, keyingisi esa masofada bo`lsin. Bunda, - orttirma bo`lib, dir. U holda, jismning birinchi ikki tekislik bilan kesilgan qismining hajmi , undan keyingi qismining hajmi esa dan iborat bo`ladi.
Birinchi silindrsimon jismning balandligi , asos radiusi ; ikinchisining balandligi ham , asos radiusi U holda, birinchi jism hajmi , ikkinchisiniki esa bo`ladi. Ikki silindr orasidagi orttirma hajm dan iborat bo`ladi. Ammo hajm va da cheksiz kichik miqdor bo`lib, 0ga intiladi. Shuning uchun hajmning differensiali kichik silindrsimon jismning hajmi bo`ladi. Buni integrallaymiz:
(1)
(1) tenglik aylanish jismining hajmini topish formulasidan iborat.
1-misol. Asos radiusi va balandligi bo`lgan aylanish paraboloidi segmentining hajmini toping.
Yechilishi: Ma`lumki, parabola tenglamasi bo`lib, parabolaning ixtiyoriy nuqtadan o`tishini e`tiborga olsak.
(2)
Parabola tenglamasi va (2) dan (3)
bo`ladi. Bundan, (4)
U holda, (1) formulaga asosan paraboloid segmentining hajmi quyidagicha bo`ladi:
(5)
2-misol. parabola, o`q va to`g`ri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapesiyaning o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.
Yechilishi: (1) formuladan foydalanamiz. Bunda, , va larni formulaga qo`yib, integralni hisoblaymiz:

Demak, jismning hajmi dan iborat ekan.