Aniq integralning tadbiqlari

Ikkita parbolaning kesishmasidan hosil bo`lgan figuraning yuzi
va parabolalar y
berilan. yuza va yuzalar M A
ayirmasiga teng. Berilgan paralar K S
va nuqtalarda L
kesishishadi. Shuning uchun 0 N x
(9)
Demak, izlangan yuza kvadratining uchdan bir qismidan iborat.
Sikloidaning yuzi
va berilgan bo`lsa, y M
(10) a
Demak, sikloidaning yuzi iborat ekan . 0 N A x


Qutb koordinatalarida yuzani topish
sektor yoy, va nurlar bilan chegaralangan bo`lsin. Bunday sektorning yuzi qutb koordinatalarida quyidagi formula yordamida topiladi:
(11)
Bunda -qutb radiusi, -qutb radiusining o`q bilan tashkil qilgan burchagi, ya`ni qutb burchagi.


Arximed spirali birinchi o`ramining o`qi bilan chegaralangan qismining yuzi
Arximed spiralining birinchi o`rami nuqtadan (qutb markazidan) boshlanib, nuqtada tugagan bo`lsin.


B
0 a A x
c

U holda, qutb burchaklari va bo`ladi. Qutb radiusi

(12)
dan iboratdir. Bunda - spiral qadami, ya`ni .
(11) formulaga asosan egri chiziq va spiral qadami bilan chegaralangan figuraning yuzi quyidagi formula yoramida hisoblanadi:
(13)


Kardioidaning yuzi
- kardioda bilan chegaralangan yuzani hisoblash talaba qilinsin. Ma`lumki, kardoida
qutb o`qiga nisbatan simmetrik.
Shuning uchun uning yuqori qismi 0 2a A x
yuzasini topib, natija ikkilantirilsa,
yetarli bo`ladi. U holda,
(14)
Bundan,
(15)
, hamda
ekanligini hisobga olsak, (15) quyidagidan iborat bo`ladi:
(16)
Demak, kardioidaning yuzi ekan.