Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari To`g`ri to`rtburchaklar formulasi

Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari
1. To`g`ri to`rtburchaklar formulasi
Faraz qilaylik, y = f (x) funksiya [a,b]kesmada uzluksiz funksiya bo`lsin.
b
Ushbu ò f ( x)dx aniq integralni hisoblash talab qilinsin. [a,b] kesmani a
a = ^x₀ ,^x₁,......,^x_n = b nuqtalar bilan n ta bo`lakka ajratamiz. Har bir bo`lakning
uzunligi Dx = ^b - ^a ga teng bo`ladi. n
f (x) funksiyaning <sup>x</sup><sub>0</sub> ,<sup>x</sup><sub>1</sub>,<sup>x</sup><sub>2</sub> ,<sup>x</sup><sub>3</sub>,......,<sup>x</sup><sub>n</sub> nuqtalardagi qiymatini mos ravishda
y<sub>0</sub> = f ( x<sub>0</sub> ), y<sub>1</sub> = f ( x<sub>1</sub> ), . . . . . y<sub>n</sub> = f ( x<sub>n</sub> )
belgilaymiz va quyidagi yig`indini tuzamiz.
y₀D +x y x₁D +......+ y_n-1Dx å^n-=¹ y x_iD ,
i=0
y x₁D + y₂D +x ......+ y_n Dx åⁿ=y x_i D .
Bu yig`indilarning har biri [a,b] <sup>i=1</sup>kesmada f (x) funksiyaning integral yig`indisi bo`lishi ravshan va shuning uchun taqriban integralni ifodalaydi:
<sub>ò</sub><sup>b</sup>a f x dx( ) » <sup>b-</sup><sub>n</sub><sup>a</sup> (y<sub>0</sub> + + + +y<sub>1</sub> y<sub>2</sub> ... y<sub>n-1</sub>), (1) <sub>ò</sub><sup>b</sup>a f x dx( ) » <sup>b-</sup><sub>n</sub><sup>a</sup> (y<sub>1</sub> + + +y<sub>2</sub> ... y<sub>n</sub>). (2)
(1) formula (ichki) va (2) formula (tashqi) lar o`rinli bo`ladi.
Taqribiy hisoblashning absolyut xatoligi
R<sub>1</sub> = M<sub>1</sub> <sup>(b - a)2</sup> (3)
4n
dan katta emas. Bu yerda M<sub>1</sub> = max f ¢(x); h = Dx = <sup>b - a</sup> bo’lak uzunligi.
[a,b]n
2.Trapesiyalar formulasi
[a,<sub>b</sub>] kesmani n ta teng bo`lakka bo`lamiz. Dx ^{= b - a} y = f (x) chiziqning har bir yoyini n
bu yoyning uchlarini tutushtiruvchi vatar bilan almashtiramiz.

Berilgan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini n ta to`g`ri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini yig`indisi bilan almashtiramiz.
òba f x dx( ) » ( y0 +2 y1 D +x y1 +2 y2 D +x .....+ y yn-21 n Dx) ( )4
Bu trapetsiyalar formulasidir.
(b-a)³

Trapetsiyalar formulasini absolyut xatoligi R₂ = M₂ 12n₂ dan katta emas. Bu yerda M₂ = max f ¢¢(x) .
[a,b]
3. Simpson formulasi
[a,b] kesmani n=2 ta juft miqdordagi teng qismlarga bo`lamiz. Uchta nuqta olamiz va bu (x₀; у₀)
(x₁; у₁),(х₂; у₂) nuqtalar orqali

У = Ах² + Вх + С parabolani o`tkazamiz. Bu parabola bilan y = f ( x) funksiya grafigini almashtiramiz. Huddi shunga o`xshash y = f ( x) [a,b] funksiya grafigi [x₂;х₄],[х₄;х₆] va boshqa kesmalarga almashtiramiz.
Shunday qilib y = f ( x) egri chiziqli trapetsiya yuzini bu kesmadagi parabolalar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini yig`indisi bilan almashtiramiz.
Bunday egri chiziqli trapetsiyalar parabolik trapetsiyalar deyiladi. parabola tenglamasining А, В , С koeffisentlari parabolaning berilgan uchta nuqtadan o`tish shartidan aniqlanadi.
А, В,С koeffisentlarni parabolaning [- h; у₀],(0;у₂),(h;у₂) nuqtalardan o`tish shartidan to’amiz.
h = Dx = b - а = b - а n 2m
ìy₀ = Аh² - Вh + C, ï
í у₁ = С
^ïî у₂ = Аh² + Вh +C
bu tenglamalar sistemasini yechib

А ⁼ 2¹h₂ (y₀ - 2y₁ + y₂) C =Y₁,В ⁼ 2¹h (y₂ - y₀) ni aniqlaymiz.
Endi parabolik trapetsiyaning S yuzasini aniq integral yordamida topamiz.

S1 = òhh(Ах2 + Вх + С)dx = ççèæ A x33 + В х22 + схö÷÷ø -hh = h3 (2Ah3 + 6C)
-
А va В ning topilgan qiymatlarini o`rniga qo`yib, quyidagilarni hosil qilamiz:
S₁ = ^h( y₀ +4y₁ + y₂ )
3 S3 = h( y4 +4y5 + y6 ) h 3
S₂ = ( y₂ +4y₃ + y₄ )
³.................................................
S2m = h ( y2m-2 +4y2m-1 + y2m ) 3
^òa^b f x dx( ) = ^h₃ (y₀ + +y_2m 4(y₁ + + +y₃ ... y_{2 1m-} )+ 2(y₂ + + +y₄ ... y_{2 2m-} )) (5)
bunda h =Dx = ^b - ^a 2m

Shunday qilib, aniq integralni taqribiy hisoblashning Simpson formulasi (parabolik trapetsiyalarni formulasi) bunday ko`rinishni oladi.
_ò^ba f x dx( ) = ^b₂^-_m^a (y₀ + y_2m +4(y₁ + y₃ +...+ y_{2 1m-} )+ 2(y₂ + y₄ +...+ y_2m )) (6)
(b-a)⁵ b-a
Sim’son formulasining absolyut xatosi R₃ = M₃ 2880n₄ h= Dx = _2m dan katta

emas. Bu yerda M₃ = max f ^IV (x) .
[a,b]
1-misol Ushbu I = _ò^{1 dx} integralni taqribiy qiymatini to`g`ri to`rtburchaklar formulasi
1+ x
bo`yicha hisoblang.
Yechish. Avval integralni aniq qiymatini Nuyuton-Leybnits formulasi bo’yicha hisoblaymiz.

dx 1 ò = ln1+a = ln 2 » 0.69315.
1+ x 0
₀
[0;1] kesmani Dx = = 0.1 qadam bilan teng 10 bo’lakka ajratamiz va har bir nuqtada f (x) = ¹ funktsiyani qiymatini hisoblab quyidagi jadvalni tuzamiz.
1+ x

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
yi	1	0.9091	0.8333	0.7692	0.7143	0.6667	0.6250	0.5882	0.555	0.526	0.500

1. To`g`ri to`rtbrchak formulasi bo’yicha
h =10, Dx = = 0.1 bo’yicha (1) formulaga qo’yib hisoblaymiz
I » 0.1(1+ 0.9091+...+ 0.5263) = 0.71877 (2) formula bo’yicha I » 0.1(0.9091+ 0.8333+...+ 0.5) = 0.66877; Endi xatoligini hisoblaymiz:
f (x) = ¹ va f ¢(x) = - ¹
(x +1)²
M1(b - a)2
M₁ = max f ¢(x) = max - £ 1 demak R1 = 4n = 4×¹10 = 0.025 dan ortmaydi.
2. Trapetsiya formulasi bo’yicha
(4) formulaga asosan
I » 0,1( +0,9091++0,5263) = 0,69377 hosil bo`ladi.
f ¢( )x = - <sup>1</sup> <sub>2</sub> , bo`lganligi uchun f ¢¢( )x = ²
(1+ x) (1+ x)³
[0,1] kesmada f ¢¢(x ) £ 2 . Demak, M ₂ =2
M b₂( -a)² 2 1
Natijani xatosi ₂ = = < 0,02
12n 12 100× 600
Kattalikdan ortiq bo`lmaydi.
Integralni absolyut xatosi 0,69315-0,69377 = 0,00062
3. Simpson formulasi bo’yicha
n = 2m =10 bo`lsa, Dx ^b-=^{a 1} = (6) formulaga asosan
3n 30
I = (1,0000+0,5000+ 4(0,9091+0,7692+0,6667 +0,5882+0,5263)+
+2(0,833+0,7143+0,6250+0,5556)) = 0,693146
Natijaning absolyut xatosi f ^IV = ²⁴ ₅ , M ₄= max_0,1 ²⁴ ₅ £ 24 .
(1+ x) ^{[ ]} (1+ x)
R₃ = M₃ ^{(b -a)}₄⁵ = ²⁴ » 0,000008 dan ortmaydi.
2880n 2880 10000×
Natijalarni taqqoslab, Simpson formulasi ancha aniq ekaniga ishonch xosil qilamiz.

2-misol. _ò² sin(x dx² ) integralni trapetsiyalar formulasi yordamida hisoblang.
0
Yechish. n =10, Dx = ^{b - a} = ^{2 - 0} = 0.2
n 10
quyidagi jadvalni to’ldiramiz.

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0
yi	0	0,004	0,1593	0,3523	0,5972	0,8415	0,9915	0,9249	0,5487	0,3427	0,1576

trapetsiya formulasiga asosan
2
òsin( )x dx² »0.2 (+0.04 0.1593 0.3523 0.5972 0.8415 0.9+ + + + + 915 0.9249 0.5487 0.3427 ) 1.11722+ + + =
0
Endi absolyut xatoligini topamiz:
f ¢( )x = (sin(x² ))^¢ = 2xcos(x² ) f ¢¢( )x = 2cos(x² )-4x² sin(x² )

M ₂ = max 2cos(x² )-4x² sin(x²) £ 2
^R2 = M212(bn-²a)³ = 122**1008 = = 0.013
dan katta emas.
12

3-misol. ò x³ +13 dx integralni parabolalar formulasi yordamida taqribiy hisoblang.
2
Yechish. n =10, h= Dx = 1.

f x( )= x³ +13
quyidagi jadvalni to’ldiramiz.

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
yi	4,582	6,324	8,775	11,747	15,133	18,868	22,913	27,240	31,828	36,661	41,725

(6) formulaga asosan

^12ò2 x³ +13 dx» ¹3 éë4,5882+ 41,725+ 4 6,324( +11,747 +18,868+ 27,240+36,661)+
+2 8,775( +15,133+22,913+31,828)ù=û 197,808
Mustaqil yechish uchun misollar.
Quyidagi integrallarni integrallash oralig`ini 10 bo`lakka bo`lib, to`g`ri to`rtburchak, Trapetsiyalar va Simpson formulalari yordamida taqribiy hisoblang. Absolyut xatoni aniqlab bo`lmagan holda hisoblashlarni 0,001 aniqlikda bajaring.
p

^{1. 13ò}3 x³ +3 dx 2. ^10ò0 x + 4 dx 3. ^10ò0 x³ +1 dx 4. pò^{2 sin}_x^xdx
4
5. _ò¹0 ₂₊¹ _x dx 6. -_ò⁸2 x +12 dx 7. _ò0¹ e dx^-x2 8. _ò²0 ₃₊¹ _x dx
123112
9. ò x³ +8 dx 10.ò dx 11.ò 3-x dx² 12. ò x² +7 dx
202
13. ò50 x 1-2 dx 14. 11ò1 x +6 dx 15.ppò cosx x dx 16. ò21 x +1 7 dx

2
17. 14ò4 x3 +5 dx 18. ò72 lnx1 dx 19. ò38 x1-1dx 20.11ò1 x3 +9 dx
p

21^. ò³0 cos x dx 22. _ò⁸5 _{x +}¹ ₇ dx 23. ^15ò5 x³ -1dx 24. ^ò0¹ 1+ 4x dx³ 25.ò30 x +1 7 dx
Foydalanilgan adabiyotlar
Ё. Х. Соатов «Олий математика» 1-2-қисм. Тошкент-1995 й.
Д.Т.Ж.Жўраев «Олий математика асослари» 1-2-қисм Тошкент-1995 й.
В. Е. Шнайдер ва бошқалар «Олий математика қисқа курси» 2-қисм Тошкент1992 й.
В. П. Минорский «Олий математикадан масалалар тўплами» Тошкент-1977 й.
П. Е. Данко и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах» Част I. Москва1986 г.