Aniq integralni hisoblash bo’yicha umumiy mulohazalar

Trapetsiyalar formulasi

Bu formulani olish uchun kesmani h=(b-a)/n qadam bilan n ta bo‘laklarga bo‘lish natijasida hosil qilingan egri chiziqli trapetsiya har bir bo‘lakchasining yuzini, 6.3-rasmdagidek, trapetsiyalar yuzi bilan taqribiy almashtiriladi.

6.3-rasm

Olingan taqribiy qiymatlarni jamlash natijasida

(6.4)

taqribiy formulani olamiz. Bu trapetsiyalar formulasidir.

Simpson formulasi

Parabolalar (Simpson) formulasi bilan aniq integralni hisoblashni o‘rganamiz.

[a,b] kesmani h=(b-a)/2n qadam bilan 2n ta juft bo‘laklarga ajratamiz. Bo‘linish nuqtalari

x₁, x₂, x₃,…, x_2n-1

Bo‘lganda bu nuqtalarda integral ostidagi funktsiyaning mos qiymatlarini topamiz::

Integral ostidagi f(x) funktsiyani parabola funkiyasi bilan almashtirishda Nyutonning interpolyatsiya formulasi asosida nuqtalarga qurilgan parabolaning quyidagi interpolyatsiya ko‘phadidan foydalanamiz:

bu yerda , ekanligdan interpolyatsiya ko‘phadi quyidagicha yozamimz:

Bu holda kesmada f(x) interpolyatsiya ko‘phadini integrallaymiz:

(*)

bu yerda lar x ga bog’liq emas. Integralni undagi qo‘shiluvchilar integrallarini alohida integrallash bilan topamiz:

1)

2) ikkinchi va uchinchi qo‘shiluvchilarni integrallashda quyidagicha almashtirish qilamiz:

dan

Bu holda

,

Demak (*) integralning qiymati

Shuningdek dagi integrallarni topamiz:

. . . . .

Bu integrallarni qo‘shish bilan [a, b] kesmadagi integralni topamiz:

taqribiy formulaga ega bo‘lamiz, bu Simpson formulasi deb yuritiladi.