Aniq intеgrallarni hisoblash usullari aniq integralni ta’rif bo‘yicha hisoblash

§6. ANIQ INTЕGRALLARNI HISOBLASH USULLARI

• 
  Aniq integralni ta’rif bo‘yicha hisoblash.
  
• 
  Nyuton – Leybnits formulasi.
  
• 
  Bo‘laklab integrallash usuli.
  
• 
  Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish usuli.
  
• 
  Aniq integrallarni taqribiy hisoblash .
  

6.1. Aniq integralni ta’rif bo‘yicha hisoblash. Biz aniq integral ta’rifi va asosiy xossalarini o‘rgangan bo‘lsak ham, ammo hozircha faqat bitta f(x)=1 o‘zgarmas funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan aniq integral qiymatini bilamiz xolos. Bu yo‘nalishda yana bir misol sifatida f(x)=x funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan

aniq integralni uning ta’rifidan foydalanib hisoblaymiz. f(x)=x funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgani uchun u integrallanuvchi, ya’ni I aniq integral mavjud. Unda, ta’rifga asosan, [a,b] kesmani ixtiyoriy ravishda kichik [x_i–1, x_i] kesmachalarga bo‘laklab va ulardan istalgan ξ_i nuqtalarni tanlab,

integral yig‘indini hosil etib, uning n→∞,maxΔx_i→0 bo‘lgandagi limitini topsak, bu limit qiymati doimo bir xil bo‘ladi va I integral qiymatini ifodalaydi. Shu sababli biz [a,b] kesmani o‘zaro teng bo‘lgan n bo‘lakka ajratamiz. Bu holda hosil bo‘lgan har bir [x_i–1, x_i] kesmachaning uzunligi bir xil va Δx_i=h=(b–a)/n, ularning chegaralari esa x_i=a+ih, i=0,1,2,∙∙∙, n–1, n kabi aniqlanadi.Har bir [x_i–1, x_i] kesmachalardan ξ_i nuqta sifatida uning chap chegarasini, ya’ni ξ_i =x_i–1 (i=1,2,∙∙∙, n) deb olamiz. Bu holda integral yig‘indi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

.

Bu yerdan, aniq integral ta’rifi va limit xossalariga asosan,

natijani olamiz. Demak,

. (1)

Bu natijaga aniq integralning geometrik ma’nosidan foydalanib ham kelish mumkin. Haqiqatan ham, (1) aniq integral y=x, x=a, x=b va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan aABb trapetsiya (73-rasmga qarang) yuzini ifodalaydi. Chizmadan ko‘rinadiki, bu trapetsiyaning balandligi H=b–a, asoslari esa a va b. Shu sababli

.

73-rasm

2.