Aniq integrallardi juwíq esaplaw. EŃ Ápiwayí interpolyaciyalíq kvadraturalíq formula

Tuwrı tórtmúyeshlikler formulası

Eger _{kesindini n aǵzaǵa bóleklerge bóliw nátiyjesinde payda etilgen} aralıqqa mas keliwshi integraldı alsaq ol iymek sızıqlı trapetsiyanıń aralıqqa sáykes keliwshi bólekleriniń maydannan ibarat ekenligi hám onıń juwıq mánisi sıpatında

Mánisin qabıl qılıw múmkinligi málim. Bul jerde , kesindiden alinǵan qálegen noqat. Qilinǵan bunday sáwbet tiykarında (7.2) den
(7.3)
integraldı juwıq esaplaw formulasına iye bolamiz. Bul integraldi juwıq esaplawda tuwrı tórtmúyeshlik usılınan paydalanamız.



7.2-súwret

Eger dep alınsa bolıp (7.3) den

(7.3)
shep tuwrı tórtmúyushlikler , eger dep alınsa _bolıp, (7.3) dan
(7.3)
Oń tuwrı tórtmúyeshlikler formulalarına iye bolamız ,bul jerde y_i=f(x_i), (i =0,1,2,…,n).
Eger kesindiden n aǵzanı teń bóleklerge bólsek qádemler birdey bolıp, (7.3) va (7.3) lerden


Kórinisdegi tuwrı tórtmúyeshlikler formulalarǵa iye bolamiz, h integrallaw qádemi dep júritiledi.
a) Tuwrı tórtmúyeshlikler formulası ushın qátelikler tómendegishe:

TRAPETSIYALAR FORMULASI

Bul formulanı alıw ushın kesindini h=(b-a)/n qádem menen n aǵzaǵa bóleklerge bóliw nátiyjesinde payda etilgen iymek sızıqlı trapetsiya hárbirr bólekshesiniń maydanı , 3-súwretdegidey trapetsiyalar maydanı juwıq almastırıladı.

3-súwret

Alınǵan juwıq nátiyjelerdi jómlew nátiyjesinde


(7.4)
juwıq formulanı alamız. Bul trapetsiyalar formulası.
Formulanıń jaǵdayı tómendegishe :

SIMPSON FORMULASI

Parabolalar (Simpson) formulası menen anıq integraldı esaplawdı úyrenemiz.
[a,b] kesindi h=(b-a)/2n qádem menen 2n aǵzaǵa jup bóleklerge ajıratamız. Bóliniw noqatları
x₁, x₂, x₃,…, x_2n-1

Bolǵanda bul noqatlarda integral astındaǵı funksiyanıń mas mánislerin tawamız.:

Integral astındaǵı f(x) funktsiyanı parabola funkiyası menen almastırılsa Nyutonnıń interpolyatsiya formulası tiykarında noqatlarǵa qurılǵan parabolanıń tómendegishe interpolyatsiya kóp aǵzasınan paydalanamız:


bul jerde , _ekenliginen interpolyatsiya kóp aǵzası tómendegishe jazamız :

Bul jaǵdayda kesindide f(x) interpolyatsiya kóp aǵzaların integrallaymız:
(*)
Bul jerde lar x ǵa baylanıslı emes. Integraldı ondaǵı qosılıwshılar integrallardı bólek integrallaw menen tawamız:
1)
2) ekinshi hám úshinshi qosılıwshılardı integrallawda tómendegishe almastıramız:
dan
Bul jaǵdayda
,

Demek (*) integraldıń mánisi


Sonıń menen birge daǵı integrallardı tabamız:


. . . . .

Bul integrallardı qosıw menen [a, b] kesindidegi integraldı tawamız:


juwıq formulaǵa iye bolamız, bul Simpson formulası dep júritiledi.


Teorema. Eger f(x) funktsiyasınıń kesindide jeterlishe (máselen Simpson formulası ushın tórtinshi) tartipli shegaralanǵan tuwındısı bar bolıp , juwıq integrallaw formulaları qátelikleriniń bahası ushın tómendegi orınlı:

Simpson formulası ushın

Bul jerde R(h) juwıq integrallaw formulasınıń qáteligi
.