Aniq integral va uning xossalari

Aniq integralning asosiy xossalari

1- xossa: O’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisining tashqarisiga chiqarish mumkin.

Isbot:

2-xossa: Bir necha funksiyalar algebraik yig’indisining aniq integrali qo’shiluvchilar aniq integrallarning algebraik yig’indisiga teng.

Masalan:

3-xossa. Agar [a, b] kesmada f(x) va  (x) funksiyalar uchun f(x)   (x) shart bajarilsa, u holda bo’ladi.

4-xossa: Agar [a,b] kesma bir necha qismga bo’linsa, u holda [a,b] kesma bo’yicha aniq integral har bir qism bo’yicha olingan aniq integrallar yig’indisiga teng.
Masalan: a bo’lsa, u holda

5-xossa: Aniq integralning qiymati funksiyaning ko’rinishiga va integrallash chegaralariga bog’liq, lekin integral ostidagi ifodaning harflariga bog’liq emas.

_{ } kesmada f(x) funksiya aniqlangan bo’lsin. _{ } kesmani _{ } nuqtalar bilan n ta bo’lakka ajratamiz. Har bir _{ } kesmadan ixtiyoriy _{ } nuqta olib

yig’indini tuzamiz. Bunda _{ }

ko’rinishidagi yig’indi integral yig’indi deyiladi. Uning max _{ } dagi limiti mavjud va chekli bo’lsa, unga f(x) funksiyaning a dan b gacha aniq integrali deyiladi va u

ko’rinishida yoziladi.
Bu holda f(x) funksiya _{ } kesmada integrallanuvchi deyiladi. f(x) funksiyaning integrallanuvchi bo’lishi uchun u _{ } kesmada uzluksiz bo’lishi yoki chekli sondagi uzilishlarga ega bo’lishi kifoyadir.
Aniq integral quyidagi bir qator xossalarga ega:
1. _{ };
_{ }._{ }, agar _{ } bo’lsa;
_{   };
_{ }. _{ 
 } Agar _{ } kesmada _{ } va integrallanuvchi bo’lsa, u holda
_{ } tengsizlik o’rinli bo’ladi;
6. Agar _{ } kesmada _{ } va _{ } funksiyalar integrallanuvchi hamda _{ } bo’lsa, u holda ularning aniq integrallari uchun _{ } tengsizlik o’rinli bo’ladi.
_{ } Agar _{ } va f(x) funksiya _{ }, _{ } kesmalarda integrallanuvchi bo’lsa, unda_{ } kesmada ham integrallanuvchi va _{ } tenglik o’rinli bo’ladi.
_{ } Agar_{ } kesmada (a  tengsizlik o’rinli bo’ladi;
_{ } Agar _{ } funksiya _{ } kesmada integrallanuvchi bo’lsa, u holda f(x) funksiya ham bu kesmada integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi: _{ }
10. Agar f(x) funksiya _{ } kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda bu kesmada shunday 𝜉 nuqta mavjud bo’ladiki, unda
_{ }
tenglik o’rinli bo’ladi.
Agar F(x) uzluksiz f(x) funksiyaning biror boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglik aniq integralni hisoblashning Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi.
Ba’zi aniq integrallarni hisoblashda bo’laklab integrallash formulasi deb ataluvchi

formuladan foydalaniladi.
Berilgan uzluksiz _{ } funkisiyadan _{ } kesma bo’yicha olingan

aniq integiralni ba’zi hollarda biror _{ } differensiallanuvchi funksiya orqali “eski” x o’zgaruvchidan “yangi” t o’zgaruchiga o’tish usulida foydalanib hisoblash mumkin bo’ladi. Bunda quyidagi shartlar qo’yiladi:
1. _{ }(_{   }
2. _{ }(t) va_{ }funksiyalar t_{ }[_{ }] kesmada uzluksiz:
3. _{ }[_{ } murakkab funksiya [_{ } kesmada aniqlangan va uzluksiz.
Bu shartlarda ushbu formula o’rinli bo’ladi:

Bu formula aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi.