Аниқ интеграл тушунчаси 10. Сегментни бўлаклаш

9-таъриф. Агар да функциянинг интеграл йиғиндиси чекли лимитга эга бўлса, функция сегментда интегралланувчи (Риман маъносида интеграл-ланувчи) дейилади, сонига эса функциянинг сегмент бўйича аниқ интеграли дейилади. Уни

каби белгиланади.
Демак,

Шундай қилиб, функциянинг аниқ интеграли икки хил таърифланади. Бу таърифлар эквивалент таърифлар бўлади. (Қаралсин, [1] 9-боб)
Одатда, сегмент бўйича интегралланувчи функция-лар тўплами каби белгиланади:
функция да интегралланувчи.
Функциянинг интегралланувчилик
мезони (критерийси)


1⁰. Дарбу йиғиндиларининг хоссалари. функция сегментда берилган ва чегараланган бўлиб,

нинг бирор бўлаклаши бўлсин. Равшанки, бу ҳолда функциянинг Дарбу йиғиндилари


мавжуд бўлади, бунда


.
1) сегментнинг ихтиёрий бўлаклашига нисбатан тузилган функциянинг Дарбу йиғиндилари учун

бўлади.
◄ Бу муносабат 32-маърузадаги (3) тенгсизликлардан келиб чиқади. ►
Айтайлик,

сегментнинг бирор бўлаклаши бўлсин. Бу бўлаклашнинг бўлувчи нуқталари қаторига янги бўлувчи нуқталарни қўшиб, сегментнинг бошқа бўлаклашини ҳосил қиламиз. Уни каби белгилаймиз.
2) сегментининг ихтиёрий ва бўлаклашлари учун


муносабатлар ўринли бўлади.
◄ сегментнинг ихтиёрий

бўлаклашини олайлик. Соддалик учун бўлаклаш нинг барча бўлувчи нуқталари ҳамда қўшимча битта нуқтадан юзага келган бўлсин. Бу нуқта ҳамда нуқталар орасида жойлашсин:
.
Демак,
.
Бу бўлаклашларга нисбатан Дарбунинг қуйи йиғиндиларини ёзамиз:



бунда,

.
Энди бўлишини эътиборга олиб топамиз:

.
Кейинги муносабатдан

бўлиши келиб чиқади.
Худди шунга ўхшаш,

бўлиши исботланади. ►
3 ) нинг ихтиёрий ва ) бўлаклаш-ларга нисбатан Дарбу йиғиндилари учун

тенгсизлик ўринли бўлади.
◄ ва бўлаклашларнинг барча бўлувчи нуқталари ёрдамида нинг бўлаклашини ҳосил қиламиз. Равшанки,

бўлади.
Юқорида келтирилган 1) ва 2) хоссалардан фойдаланиб топамиз:
. ►