Анализ семестр Лекция Основные формулы векторного анализа. Формула Грина. 16 октября 2014 год

Формула Остроградского

• Формула Грина

• Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути

• Для любой замкнутой кривой L в Ω
• Для любых кривых L1 и L2 в с общими началами и концами

• Формула Грина

• (3) Существует такая функция φ∊С1(Ω), для которой
• (4) Существует такая функция φ∊С1(Ω), для которой
• (5) Существует такая функция φ∊С1(Ω), что для любых точек
• A,B∊Ω и любой кривой L с началом в точке A и концом в
• точке B

• Формула Грина

• Доказательство по схеме

• Формула Грина

• Формула Грина

• Формула Грина

• Формула Грина

• Пусть
• тогда
• и по формуле вычисления криволинейного интеграла

• Формула Грина

• Если кривая замкнута, то ее начало и конец совпадают, поэтому

• Функция φ(x,y), входящая в условия (3)-(5), определяется с точностью до произвольной постоянной.
• Векторное поле, удовлетворяющее этим условиям называется потенциальным.

• Формула Грина

• Условие на координаты векторного поля для его потенциальности

• Необходимое условие потенциальности: если непрерывно
• дифференцируемое векторное поле
• является потенциальным, то

• Формула Грина

• Определение: область D называется односвязной если для любой замкнутой кривой L, целиком лежащей в области D, область Ω, ограниченная кривой L, также целиком лежит в области D.

• не односвязная область

• односвязная область

• Формула Грина

• (2) Достаточное условие потенциальности: если непрерывно
• дифференцируемое векторное поле
• в односвязной области удовлетворяет условию
• то оно потенциально

• Формула Грина

• Для доказательства проверим первое условие потенциальности поля. Пусть L - замкнутая кривая, а Ω - область, которую она ограничивает, тогда по формуле Грина

• Если область в которой задано поле не односвязно, то условие
• не достаточно для потенциальности поля.

• Формула Грина

• Контрпример.

• Формула Грина

• Пример 1. Вычислить

• Формула Грина

• Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

• Формула Грина

• Пример 3. Вдоль эллипса L
• (в положительном направлении) вычислить интеграл

• Формула Грина

• Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой

• Формула Грина

• Формула Грина

• Пример 5. Вычислить интеграл

• Найдем функцию φ, градиент которой равен {P,Q}. Для этого достаточно решить систему уравнений

• Формула Грина

• Формула Грина

• Ответ:

• Математический анализ.
• Основные формулы векторного анализа.
• Формула Грина.
• Лекция 6
• завершена.
• Спасибо за внимание!

• Тема следующей лекции:
• Основные формулы векторного анализа.
• Формул Остроградского и Стокса.
• Лекция состоится в четверг 23 октября
• в 14:30 по Московскому времени.

• Дистанционный курс высшей математики
• НИЯУ МИФИ