An eulerian-eulerian approach for oil&gas separator design conference Paper

Elimination algorithm for drag terms 
The direct solution of the momentum equation for each phase is not possible since each equation is 
coupled with the others due to the drag terms. In the present work a direct algorithm to 
“partial-
eliminate” the coupled term is implemented. The drag terms are therefore split in two contributions: 
the first is treated in the discretization of the momentum equation without pressure and gravity terms. 
The second one is treated in the pressure equation in the following way: 
𝜙
𝑘
𝑛
− ∑ 𝐷
𝑗𝑘
(𝒗
̅
𝑘
𝑛−1
)𝜙
𝑗
𝑛
3
𝑗=1,𝑗≠𝑘
= 𝜙
𝑘,𝑠
𝑛
where 
𝜙
𝑘,𝑠
𝑛
represents the flux associated to the k-phase taking into account of all contributions apart 
from drag terms.
The previous equation can be written for each phase, yielding, in presence of three phases, to a 
system of three equations with three unknowns. Moreover, the system is linear and can be easily 
solved by substitution since drag coefficient terms 
𝐷
𝑗𝑘
is evaluated with the velocity at the previous 
iteration and, therefore, known. This treatment of drag terms is purely implicit and aims at 
reproducing numerically the physical coupling among phases.
Finally, the same algorithm is used for the calculation of the velocity field: 
𝒗
̅
𝑘
𝑛
− ∑ 𝐷
𝑗𝑘
(𝒗
̅
𝑘
𝑛−1
)𝒗
̅
𝑗
𝑛
3
𝑗=1,𝑗≠𝑘
= 𝒗
̅
𝑘,𝑠
𝑛
where 
𝒗
̅
𝑘,𝑠
𝑛
represents the velocity associated to k-phase taking into account of all contributions apart 
from drag terms. This is 
computed with the “reconstruct algorithm” implemented in OpenFOAM to 
derive from the volumetric fluxes the corresponding velocity fields.