Amaliy matematika va matematik fizika

Suyuq dinamikasining muqobil nomlari

Suyuqlik dinamikasi, ba'zida tarixiy davrga qaramay, hidrodinamik deb nomlanadi. Yigirmanchi asr mobaynida "suyuqlik dinamikasi" iborasi ancha keng tarqalgan. Texnik jihatdan, gidrodinamikaning suyuqlik dinamikasi harakatda suyuqliklarga qo'llanishi va aerodinamikada suyuqlik dinamikasi harakatda bo'lgan gazlarga nisbatan qo'llanishi aytiladi. Ammo, amalda, gidrodinamik stabillik va magnetohidrodinamik kabi ixtisoslashgan mavzular ushbu konsepsiyalarni gazlar harakatiga qo'llaganda ham "gidro" prefiksidan foydalanadi.

Suyuqlik – bu moddaning agregat holatlaridan biri. Suyuq holat qattiq jism va gaz orasidagi holat hisoblanadi. Suyuqlik va gazlar asosan ikkita xossaga ega: tutashlik va oson qo’z-g’aluvchanlik yoki oquvchanlik. Shuning uchun oquvchanlik xossasiga ega, yani mustaqil o’z hajmini saqlash xususiyatiga ega bo’lmagan fizik jism suyuqlik deb ataladi. Gidravlikada harakati qonunlari va muvozanati o’rganiluvchi suyuqliklar ikkita sinfga bo’linadi: siqiluvchan suyuqlik va gazlar; qariyb siqilmaydigan – tomchili suyuqliklar. Gidravlikada ideal va real suyuqliklar qaraladi. Ideal suyuqlik deb zarrachalari o’rtasida ichki ishqalanish kuchlari bo’lmagan suyuqlikka aytiladi. Natijada u siljishning urinma kuchlariga va cho’zuvchi kuchlarga qarshilik korsatmaydi. Ideal suyuqlik umuman siqilmaydi, u siquvchi kuchlarga cheksiz katta qarshilik korsatadi deb faraz qilinadi, ya’ni bunday suyuqlikning qovushoqligi va issiqlik o’tkazuvchanligi yo’q. Aslida tabiatda bunday suyuqlik yo’q, bu ilmiy abstraksiya bo’lib, 46 suyuqlik va gazlarga oid mexanikning umumiy qonunlarini tahlil qilishni soddalashtirish uchun zarur. Real yoki haqiqiy suyuqliklar esa urinma va chozuvchi zo’riqishlrga ma’lum darajada qarshilik ko’rsatadi hamda qisman siqiladi. Shuning uchun gidravlikaning ko’plab masalalarini yechishda ideal va real suyuqlik-larning bu farqini hisobga olmaslik mumkin. Shunga ko’ra ideal suyuqlik uchun chiqarilgan qonunlarni ma’lum tuzatishlar bilan, ba’zida esa ularsiz real suyuqliklarga qo’llash mumkin. Mexanikada harakat qonunini o’rgana turib, alohida molekulaning holati qaralmaydi, aksincha, o’rganilayotgan muhit bo’shliqlarsiz va uzilishlarsiz shu modda bilan to’l-dirilgan deb faraz qilinadi. Suyuqlik va gazlar uchun uzviylik sharti bajarilgan deyiladi, agar oqimning xarakterli o’lchamlari (masalan, quvurning diametri, yopqishning diametri va hokazo) molekulalarning harakatini xarakterlovchi parametrlarga (masalan, molekula tebranishining amplitudasiga) nisbatan juda katta bo’lsa. Suyuqlikning oquvchanligi deb uning xoxlagancha kichik kuchlar ta’sirida cheksiz deformatsiyalanish xususiyatiga aytiladi. Suyuqlik va gazlar osongina qismlarga ajralmasdan o’zlarini saqlab turgan idish shakliga kiradi. Oson qo’zg’aluvchanlik yoki oquvchanlik suyuqlik va gazlarning oqishini yuzaga keltiruvchi tashqi kuchlar ta’siriga qarshilik ko’rsatish xossasiga mos qovushoqlik tushunchasini kiritish imkonini beradi. Oquvchanlik – bu qovushoqlikka teskari miqdor. Suyuqliklar oquvchanlik chegarasiga ega emas. Gazlar suyuqliklarga nisbatan yetarlicha katta oquvchanlikka, shunga ko’ra, kichik qovushoqlikka ega. Tomchili suyuqliklarning quyidagi eng asosiy fizik xarakteristikalari (zichlik yoki solishtirma og’irlik, temperatura) va xossalari (siqiluvchanlik; temperaturaviy kengayish; cho’zilishga qarshilik; qovushoqlik)ni qaraymiz. Suyuqlikning bulardan tashqari ko’piklanish, ximik va mexanik chidamlik, singdiruvchanlik, bug’lanish, suyuqlikka gaz pufakchalarining aralashuvchanligi, kavitatsiyalanuvchanlik xossalari ham mavjud (bular haqida ma’lumotlar to’plashni talabalarga mustaqil ish sifatida qoldiramiz). 1. Zichlik va solishtirma og’irlik – bular suyuqlikning asosiy mexanik xarakteristikalari. Suyuqlikning  zichligi – bu suyuq jismning hajmi bo’ylab massaning taqsimotini xarakterlaydi: V M   , (1.1) bu yerda M – suyuqlik V hajmining massasi.  – zichlikning o’lchov birliklari: SGS sistemasida [g/sm3 ]; MKGSS sistemasida [kgs·s2 /m4 ]; SI sistemada [kg/m3 ]. (1.1) formula bir jinsli suyuqlik uchun o’rinli. Agar suyuqlik bir jinsli bo’lmasa, u holda bu formula faqat zichlikning o’rtacha qiymatini ifodalaydi. Berilgan nuqtada  zichlikning haqiqiy qiymatini aniqlash uchun nolga intiluvchi hajmni qarash va bunga mos nisbatning limitini izlash lozim: V M V     0  lim . (1.2) Suyuqlik hajmining og’irlik birligi solishtirma yoki hajmiy og’irligi –  deb ataladi: V G   , (1.3) bu yerda G – suyuqlik V hajmining og’irligi.  – solishtirma og’irlikning o’lchov birliklari: SGS sistemasida [din/sm3 ]; MKGSS sistemasida [kgs/m3 ]; SI sistemada [N/m3 ]. Temperatura oshishi bilan suyuqlikning solishtirma og’irligi kamayadi. Ma’lumki, G=Mg, demak g V M g       . (1.4) Har qanday moddaning ko’pchilik fizik va mexanik xossalari uning temperaturasiga bog’liq. Temperatura – bu suyuqlik yoki gazlarning issiqlik holatini xarakterlovchi kattalik (lotincha «temperatura» – aralashishga doir, normal holat so’zidan olingan). Absolyut temperaturaning Xalqaro birliklar sistemasidagi birligi Kel’vin (0K) yoki Sel’siy (0C), bunda 00C = 2730K. Suyuqlik yoki gazni tashkil qilgan molekulalarning harakat tezligi qancha katta bo’lsa, ularning temperaturasi shuncha yuqori bo’ladi. Agar suyuqlik o’zining temperaturasidan farq qiladigan temperaturali biror muhit bilan tutashgan bo’lsa yoki issiqlik ajralishi bilan kuzatiladigan biror jarayon suyuqlik ichida sodir bo’lsa, u holda shu suyuqlikda issiqlik o’tkazuvchanlik jarayoni yuz berib uning temperaturasi o’zgaradi. Suyuqlik temperaturasining o’zgarishi shu suyuqlik-ning katta tezlikda oqishidagi siqilishi yoki og’irlik kuchlarini 47 hisobga olgan holdagi atmosfera oqishlarida ham sodir bo’lishi mumkin. Shuni eslatib o’tamizki, qaynayotgan suyuqlikning temperaturasi o’zgarmaydi. Ishlab chiqarish sharoitida suyuqlikning solish-tirma og’irligi yoki zichligini aniqlash uchun areometr deb ataluvchi maxsus asbobdan foydalaniladi. Areometr – bu cho’zinchoq, ichi bo’sh shisha naycha bo’lib, yuqori tor qismi suyuqlikning solishtirma og’irligi yoki zichligini ifodalovchi shkalalarga bo’lingan, quyi kengaygan qismi esa suyuqlikning temperaturasini ko’rsatadi. Suyuqlikning solishtirma og’irligini o’lchash uchun areometr idishdagi suyuqlikka botiriladi. Areometrning quyi qismida joylashtirilgan yuk (odatda, u simob) hisobiga u suyuqlikda vertikal holatda suzadi. Areometrning cho’kish bo’lagini ko’rsatuvchi areometrik shkala bo’laklari suyuqlik-ning mos solishtirma og’irligi (zichligi) miqdorini ko’rsatadi. Areometr 2. Siqiluvchanlik – suyuqlikning bosim ta’sirida o’z hajmini o’zgartirish xossasi. Bu xossaning miqdoriy xarakteristikasi p – hajmiy siqilish koeffisienti, ya’ni 0 1 V V p p      . (1.5) p ning o’lchov birliklari: MKGSS sistemasida [m2 /kgs]; SI sistemada [Pa–1 ] (ko’pgina hollarda [sm 2 /kgs]). (1.5) formuladagi manfiy ishora p=p–p0 bosimning musbat o’zgarishiga (oshishiga) V=V–V0 hajmning kamayishi mos kelishini anglatadi. (1.5) ifodadan ushbu V=V0(1–p p) formula kelib chiqadi. (1.1) ni hisobga olsak,  pp     1 0 , (1.6) bu yerda  va 0 – zichlikning p va p0 bosimlarga mos keluvchi qiymatlari. Tomchili suyuqliklar uchun p ning qiymati juda ham kichik. Suv uchun uning o’rtacha qiymati p=510-10 Pa–1 . Bu shuni anglatadiki, bosim 0,1 MPa (1 atm) ga oshiganda V/V0 hajmning nisbiy o’zgarishi 1/20000 ni tashkil etadi, ya’ni u juda ham sezilarsiz. Shuning uchun ko’pgina holarda tomchili suyuqliklarni siqilmaydigan suyuqliklar deb hisoblash mumkin. Gazsimon suyuqliklar esa umuman olganda juda ham siqiluvchan moddalardir (1.3-rasm). p ga teskari miqdor Ej – suyuqlikning hajmiy elastiklik modulini ifodalaydi. Ej ning o’lchov birliklari: MKGSS sistemasida [kgs/m 2 ]; SI sistemada [Pa–1 ] yoki [N/m2 ]; ko’pgina hollarda [kgs/sm 2 ] da ifodalanadi. Bu miqdor o’zgaruvchan bo’lib, u bosim va temperaturadan bogliq. 1.3-rasm. Suyuqlik va gazlarning siqilishi. Elastiklik moduli adiabatik va izotermik turlarga bo’linadi. Birinchisi ikkinchisidan biroz katta va u suyuqlik siqilishining tez oqimli jarayonlarida namoyon bo’ladi, masalan, quvurdagi gidrozarbada. Bosim va temperaturaning kichik o’zgarish oralig’ida Ej ning qiymatini o’zgarmas deb hisoblash mumkin. Masalan, suv uchun Ej = 2000 MPa. Suyuqlikning siqilishi asosan unga aralashgan gaz pufakchalarining siqilishidan bog’liq. Siqilishda energiya sarflanadi. Siqiluvchanlik gidrotizimda avtotebranish-larni yuzaga keltirishi mumkin. Gazlarning siqiluvchanligi juda ham katta. Ideal gaz uchun (bunday gazni 10 MPa bosimgacha siqish mumkin) Mendeleyev-Klapeyron qonuni o’rinli: RT M m pV  , (1.7) bu yerda p – bosim; V – hajm; m – massa; T – abslyut temperatura; R [Dj/(molK)] – universial gaz doimiysi; M [kg/mol]– molyar massa. (1.7) formulani quyidagicha ham yozish mumkin: pV  mRgT , (1.8) 48 bu yerda Rg = R/M [Dj/(kgK)] – gaz doimiysi bo’lib, uning qiymati Rg = 287 Dj/(kgK) – havo uchun va Rg = 520 Dj/(kgK) – tabiiy gaz uchun. Zichlik formulasidan foydalansak: p  RgT yoki R T p g   . (1.9) 3. Temperaturaviy kengayish t [grad–1 ] – temperaturaviy kengayish koeffisiyenti bilan xarakterlanadi va uning qiymati quyidagiga teng: 0 1 V V t t      . (1.10) V=V–V0 va t – temperaturaning o’zgarishi desak, xuddi yuqoridagi formula kabi quyidagilarga ega bo’lamiz: V=V0(1–t t) , t  t     1 0 , (1.11) bu yerda  va 0 – zichlikning t va t0 temperaturalarga mos keluvchi qiymatlari. Suv uchun bosimning 0,1 dan 20 MPa gacha oshishida va t (1100)0C temperaturalarda t koeffisiyent 14,010–6 dan 621,010–6 gacha o’sadi. Temperatura va bosimning oshishi bilan temperaturaviy kengayish koeffisiyenti kattalashadi; ko’pgina boshqa tomchili suyuqliklar uchun bosimning oshishi bilan kamayadi. Temperatura va bosimning kichik oraliqlarda o’zgarishida t = const deb qabul qilish mumkin. Suv uchun t = 200C va p = 0,1 MPa da t =150,010-6 grad–1 . 4. Cho’zilishga qarshilik. Maxsus fizik tajribalar shuni ko’rsatadiki, sokin suyuqlik (xususa, suv, simob) ba’zida juda katta cho’zuvchi zo’riqishlarga qarshilik ko’rsatish xususiya-tiga ega. Ammo oddiy sharoitda vaznli qattiq zarrachalar va mayda gaz pufakchalarni o’z ichiga olgan texnik jihatdan toza suyuqliklar, hatto juda kichik cho’zilish kuchlanishiga ham, bardosh bermaydi. Shuning uchun tomchili suyuqliklarda cho’-zilish kuchlanishi mavjud emas deb hisoblash qabul qilingan. 5. Qovushoqlik – bu suyuqlikning zarrachalari o’rtasida o’zaro ishqalanishga qarsgilik ko’rsatish xossasidir. Qovushoqlik hajmiy va tangensial turlarga bo’linadi. Hajmiy qovushoqlik deb suyuqlikning cho’zuvchi zo’riqishlarni qabul qilish xususiyati. Suvda qovushoqlikning bu turi, masalan, unda tovush va ayniqsa ultratovush to’lqinlar tarqalishida namoyon bo’ladi. Tangensial qovushoqlik suyuqlikning siljish zo’riqishlariga qarshilik ko’rsatish xususiyatini xarakterlaydi. Tadqiqotlar shuni ko’rsatadiki, suyuqlikning cho’zuvchi va siljuvchi zo’riqishlarga qarshiligi suyuqlik qatlamlarining bir biriga nisbatan har xil tezliklarda harakat qilgan paytidagina, ya’ni zarrachalarning siljishida burchak tezliklarning paydo bo’lishida namoyon bo’ladi. Tez harakatlanayotgan qatlam tarafdan sekin harakatlanayotgan qatlamga tezlashtiruvchi kuch ta’sir qiladi. Aksincha, sekin harakatlanayotgan qatlam tarafdan tez harakatlanayotgan qatlamga tormozlovchi, ushlab qoluvchi kuch ta’sir qiladi. Bu kuchlar ichki ishqalanish kuchlari deb atalib, qatlamlarning sirtlariga urinma bo’ylab yo’nalgan. Suyuqlikning harakati jarayonida uning qatlamlari orasida ana shu ichki ishqalanish kuchlari paydo bo’ladi. Qovushoq suyuqlikning qattiq devor bo’ylab oqishida qovushoqlik tufayli oqimning tormozlanishi sodir bo’ladi (1.4-rasm). Oqim nuqtalaridan devorgacha y masofaning kamayishi bilan oqimning tezligi kamayib boradi, devorda (y=0) tezlik nolgacha tushadi, qatlamlar o’rtasida esa τ – urinma kuchlanishni yuzaga kelturuvchi toyish sodir bo’ladi. Nyuton qonuniga ko’ra ichki ishqalanish kuchi o’zi ta’sir qilayotgan yuzaga va unga normal yo’nalgan tezlik gradiyentiga to’g’ri proporsional. Ichki ishqalanish kuchini bir birlikka teng yuzaga keltirish yo’li bilan suyuqlikning urinma kuchlanishi topiladi va u quyidagi formula bilan aniqlanadi: S dn du T    , (1.12) bunda T – ishqalanish kuchi natijasida paydo bo’ladigan urinma kuchlanish quyidagiga teng: S T   yoki dn du    , 49 bu yerda dn du – normal bo’yicha tezlik gradiyenti; S – tutash qatlamlarning yuzasi;  – dinamik qovushoqlik koeffisiyenti (dinamik qovushoqlik). Bu miqdor bir birlikka teng tezlik gradiyentida sirt birligiga mos keluvchi ishqalanish kuchini ifodalaydi. Shuning uchun ba’zida bu miqdorni ichki ishqalanish koeffisiyenti deb ham atashadi. Real suyuqliklarda ideal suyuqliklardan farqli ravishda μ  0 . Dinamik qovushoqlik koef-fisiyentining birligi: SGS sistemasida puaz [P], 1 P = 1 dina·s/sm2 = 1 g/(sm·s), 1 sP (santipuas)=0,01 P; MKGSS sistemasida [kgs·s/m2 ]; SI sistemada [Pа·s]. Bu birliklar orasidagi bog’lanishlar: 1 P = 0,010193 kgs·s/m2 = 0,1 Pa·s; 1 kgs·s/m2 = 9,81 Pa·s. 1.4-rasm. Qovushoq suyuqlikning devor bo’ylab oqimida tezlikning yo’nalishlari. Suvning dinamik qovushoqlik koeffisiyenti tempera-turadan juda ham bog’liq, ammo bosimdan deyarli bog’liq emas. Chuchuk suv uchun bu koeffisiyentning qiymati tajribalar orqali aniqlangan bo’lib, t°С = 0°С, μ = 1,793·103 Pа·s. Hisoblashlarda dinamik qovushoqlik koeffisiyentini topish uchun Puazeylning usbu empirik formulasidan foydalaniladi: μ = 0,000183/(1 + 0,0337t + 0,000221t 2 ), (1.13) bu yerda t – suvning температураsi. Dinamik qovushoqlik koeffisiyentiga teskari miqdor suyuqlikning oquvchanligi (1/ μ) deb ataladi. Ko’pgina hisob formulalarida μ – dinamik qovushoqlik koeffisiyentining ρ – suyuqlik zichligiga nisbati ν – kinematik qovushoqlik koeffisiyenti (kinematik qovushoqlik) deb ataladi: ν = μ/ρ . (1.14) Kinematik qovushoqlik koeffisiyentining birligi: SGS sistemasida stoks (St) yoki 1 sm2 /s yoki santistoks (sSt), 1 sSt = 0,01 St; MKGSS va SI sistemalarda m2 /s, 1 m2 /s = 104 St. Suyuqlikning qovushoqligi uning jinsidan va temperaturadan bog’liq. Suyuqliklarda temperaturaning oshishi bilan qovushoqlik koeffisiyentlari keskin kamayib boradi. Suvning temperaturasi 0°С dan 100°С ga oshganda qovushoqlik 7 marta kamayadi. Gazlarning qovushoqligi esa temperaturaning oshishi bilan oshib boradi. Sho’r suvning dinamik qovushoqlik koeffisiyenti chuchuk suvning qovushoqlik koeffisiyentlaridan kam farq qiladi. Masalan, t = 20°С da sho’r suv uchun μ = 1,052·10-3 Pа·s, chuchuk suv uchun esa μ =1,003·10-3 Pа·s, ya’ni 5% ga farq qiladi. Suyuqlikning qovushoqlik koeffisiyenti uning harakatida namoyon bo’ladi. Agar bu qovushoqlik e’tiborga olinmasa, bunday suyuqlik ideal yoki qovushoqmas deb atalib, bunday holda real suyuqlikning harakati haqida gapiriladi. Qovushoqlikni aniqlash jarayoni viskozimetriya, uni aniqlovchi asboblar esa viskozimetrlar deb ataladi. Qovushoqni baholashda dinamik va kinematik koeffisiyentlardan tashqari shartli qovushoqlik (Engler gradusi - 0 E)dan ham foydalaniladi. Engler gradusida ifodalangan qovushoqlikni aniqlovchi asbob Engler viskozimetri deb ataladi. Masalan, Engler gradusini stokslarda ifodalash uchun mineral moylarda quyidagi Ubellod formulasi qo’llaniladi: ν = (0,0731 0 E – 0,0631/0 E)10-4 . Suyuqlikning qovushoqligi ba’zida Ostvaldning kapillyar viskozimetri yordamida ham aniqlanadi. Bu holda kinematik qovushoqlik koeffisiyenti ushbu ν = CTs10-4 formuladan topiladi, bunda C – naychaning o’zgarmasi; Ts – suyuqlikning oqib o’tish vaqti, sek. Mineral yog’larning gidrotizimlardagi qovushoqligini 50 MPa dan oshmaydigan bosimlar bilan bog’laydigan taqribiy empirik formula quyidagicha: νp = ν(1+Kp), bu yerda νp va ν – bosimning p va 0,1 MPa qiymatlariga mos keluvchi kinematik qovushoqliklar; K – yog’ning turidan bog’liq tajribadan aniqlanadigan parametr: yengil yog’lar (ν501510-6 m 2 /s) uchun K = 0,03. Juda kichik bosimlarda qovushoqlikning o’zgarishi e’tiborga olinmaydi. Temperaturaning oshishi bilan suyuqlikning qovushoqligi kamayadi. Kinematik qovushoqlik koeffisiyentining temperaturadan bog’liqligi quyidagi empirik formuladan aniqlanadi: ν=1,7810-6 /(1+0,0337t + 0,000221t 2 ). Mashina va gidrotizimlarni yog’lovchi moylar uchun quyidagi bog’lanishlar qo’llaniladi: νt = ν50 (50/t) n , bu yerda νt – t temperaturadagi kinematik qovushoqlik koeffisiyenti; ν50 – t = 500C temperaturadagi kinematik qovushoqlik koeffisiyenti; n – daraja ko’rsatgichi, ν50 dan bog’liq, u quyidagi formuladan aniqlanadi: n = lg(ν50)104 + 2,7. 50 Shunday qilib, suyuqlikning qovushoqligini baholashda uchta miqdordan foydalanish mumkin. (1.5-rasm). 1.5-rasm. Suyuqlikning qovushoqligini baholash miqdorlari.