«amaliy matematika va informatika» kafedrasi

Rits metodi bilan eng sodda chegaraviy masalani yechish
Faraz qilaylik, bizga o`z-o`ziga qo`shma differensial tenglama
(2.7)
Va eng sodda chegaraviy shartlar
(2.8)
berilgan bo`lsin, bunda funksiyalar da uzluksiz bo`lib, . (2.7), (2.8) chegaraviy masala (1.6) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalar to`plamida quyidagi
(2.9)
funksiya uchun variatsion masala teng kuchlidir.
Rits metodini qo`llash uchun shunday chiziqli erkli funksiyalar sistemasi (bazis funksiyalar) ni olamizki, bo`lib, qolganlari bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin: .
Variatsion masalaning yechimini quyidagi chiziqli kombinatsiya
(2.10)
Shaklda ifodalaymiz, bunda -o`zgarmas sonlar. Ko`rinib turibdiki, chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi:

Endi (2.8) va (2.9) funksionalga qaraymiz:

(2.11)
Bu ifodadan ga nisbatan xususiy hosila olib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:


Ko`rinib turibdiki,
(2.12)
matritsa simmetrik matritsadir. Endi (2.11) sistemani yechib, ga minimum beradigan funksiyani (2.10) ko`rinishida yozamiz. Shuni ta’kidlash kerakki, yechimning aniqligi ko`pincha bazis funksiyaning tanlanganiga bog`liq.
Misol. Quyidagi
(1)
chegaraviy masala Rits metodi bilan yechilsin.
Yechish: Chegaraviy shartlar bir jinsli bo’lganligi uchun deb olsak, deb olib,

ni olamiz. (1) chegaraviy masaladan . Shuning uchun ham


Hisoblashlar ko’rsatadiki,


Bu yerdan larni topamiz.
.
Demak,
.


2.2. Galyorkin metodi
Rits metodining asosiy kamchiligi shundaki, u faqat operatori simmetrik va musbat bo`lgan tenglamalarda qo`llaniladi. Akademik B.G.Galyorkin 1915 yilda shunday metod taklif qildiki, u Rits metodiga nisbatan umumiydir. Bu metod hech qanday variatsion masala bilan bog`liq emas, shuning uchun ham u batamom universal metod hisoblanadi. Bu metodni elliptik, parabolik va gipperbolik tenglamalarga, hatto ularga ular variatsion masala bilan bog`liq bo`lmasa ham, katta muvaffaqiyat bilan qo`llash mumkin. Agar tenglamaning operatori simmetrik va musbat bo`lsa, Galyorkin metodi osonroq yo`l bilan Rits metodi beradigan taqribiy yechimni beradi. Taqribiy yechimning koeffitsiyentlarini aniqlaydigan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bir xil bo`ladi. Galyorkin metodining yaqinlashishini akademik M.B.Keldish ko`rsatgan.
Endi Galyorkin metodining asosiy g`oyasi bilan tanishamiz. Faraz qilaylik
(2.6)
tenglama berilgan bo`lib, A-qandaydir ikki o`zgaruvchili differensial operator bo`lsin va (1.1) tenglamaning yechimi bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bu masalaning yechimini quyidagi ko`rinishda izlaymiz:
(2.7)
Ushbu sistemaning chiziqli kombinatsiyasini olamiz,

bo`lganligi sababli ixtiyoriy uchun .
Endi (2.6), (2.7) variatsion masalaning yechimini ko`rinishda izlaymiz. Buning uchun ifodani (1.1) funksionalga qo`yib, quyidagiga ega bo`lamiz:
(2.8)
Bunda ta o`zgaruvchiga bog`liq bo`lgan ma`lum funksiya. Biz larni shunday tanlashimiz kerakki, minimalga erishsin. Buning uchun sonlar quyidagi
(2.9)
tenglamalar sistemasini yechimi bo`lishi kerak. Bu sistemani yechib, ga minimum beradigan larni topamiz; bu qiymatlarni (2.9) ga qo`yib, kerakli taqribiy yechimlarni hosil qilamiz:
(2.10)
Shuni ta’kidlash kerakki, muayyan holda bu taqribiy yechimni topish jarayoni juda sodda. Chunki amaliyotda uchraydigan muhim hollarda funksionalda uchraydigan integrallarda integral ostidagi ifoda lar nisbatan ikkinchi darajali ko`phad bo`lib, (2.5) sistema larni nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat bo`ladi. Amaliyotda yetarlicha aniqlikka erishishish uchun xatto ayrim hollarda deb olsak ham yetarli bo’ladi.