Amaliy matematika fakulteti tabiiy va iqtisodiyot fanlar kafedrasi

. 
14-shakl 
. 

---

Sferik va dekart koordinatalari quyidagi bog‘lanishga ega 
,
cos
,
sin
sin
,
sin
cos





r
z
r
y
r
x



bu yerda











0
,
,
2
0
r
o
. 
Misol
To‘g‘ri burchakli 
koordinatalar sistemasida berilgan 
)
3
;
2
;
3
2
(
M
nuqtaning silindrik va sferik koordinatalarini topamiz: 
,
4
2
)
3
2
(
2
2
2
2





y
x
r
6
3
1
3
2
2






arctg
arctg
x
y
arctg
, 
chunki 
M
nuqta 
Oxy
tekislikning
I
choragida yotadi,
.
3


z
z
Demak, berilgan nuqtaning silindrik koordinatalari
.
3
;
6
;
4







M
M
nuqtaning sferik koordinatalarini topamiz: 
,
5
3
2
)
3
2
(
3
2
2
2
2
2







z
y
x
r
6
3
1
3
2
2






arctg
arctg
x
y
arctg
, 
.
5
3
arccos
arccos


r
z

Demak, 
.
5
3
arccos
;
6
;
5







M
Fazoda to’g’ri chiziq va uning parametrli va kanonik tenglamalari
 
Fazoda to’g’ri chiziqni ikkita tekislik kesishmasi kabi aniqlash mumkin. Quyidagi
sistema
 
to’g’ri
chiziqning umumiy tenglamasi
deyiladi: 

---

---

3. 
To’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari:
𝑥
= 
𝑥
0 
+ 
𝑙𝑡
𝑦
= 
𝑦
0 
+ 
𝑚𝑡
𝑧
= 
𝑧
0 
+ 
𝑝𝑡
bu yerda 
𝑡
− 
parametr. 

---

Ikkinchi tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini kanonik ko’rinishga keltirish
 
1. Quyidagi xossalarga ega ikkita 
𝑂𝑥𝑦
va 
𝑂𝑥
1
𝑦
1 
koordinatalar sistemasi berilgan: 
𝑂𝑥
va 
𝑂𝑥
1
o
’
qlar hamda 
𝑂𝑦
va 
𝑂𝑦
1 o
’
qlar parallel va bir xil yo
’
nalgan, 
𝑂𝑥
1
𝑦
1 
koordinatalar sistemasi boshi 
𝑂
1
esa 
𝑂𝑥𝑦
koordinatalar sistemasiga nisbatan ma
’
lum 
koordinatalarga ega 
𝑂
1
= 
𝑂
1
(
𝑎
, 
𝑏
)
. 

---

U holda ixtiyoriy M nuqtaning (
𝑥
, 
𝑦
)
va 
(
𝑥
1, 
𝑦
1) koordinatalari quyidagicha 
bog’langan:
(1) formula koordinatalar o’qini parallel
ko’chirishda hosil bo’lgan koordinatalarni 
topish formulasi bo’ladi.
2. Aytaylik ikkita 
𝑂𝑥𝑦
va 
𝑂𝑥
1
𝑦
1 
koordinatalar sistemasi umumiy koordinatalar boshiga
ega, 
𝑂𝑥
1 
o
’
qi esa 
𝑂𝑥
o
’
qi bilan 
𝛼
burchak hosil qiladi. U holda ixtiyoriy M nuqtaning 
(
𝑥
, 
𝑦
)
va (
𝑥
1
, 
𝑦
1) 
koordinatalari quyidagicha bog
’
langan: 
3.
𝑥
va 
𝑦
o
’
zgaruvchilarga nisbatan ikkinchi tartibli tenglamaning 
umumiy ko’rinishi quyidagicha:
𝐴𝑥
2 
+ 2
𝐵𝑥𝑦
+ 
𝐶𝑦
2 
+ 
𝐷𝑥
+ 
𝐸𝑦
+ 
𝐹
= 0
(3) 
Shunday 
𝛼
burchak mavjudki, (3) tenglamani o
’
q atrofida 
𝛼
burchakka 
burish formulasini quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin:
𝐴
1
𝑥
2 
+ 
𝐶
1
𝑦
2 
+ 
𝐷
1
𝑥
1
+ 
𝐸
1
𝑦
1 
+ 
𝐹
1 
= 0
(4) 

---

Bunda: 
Mos 
𝛼
burchakni quyidagi tenglikdan topish mumkin: 
4. (4) tenglama parallel ko’chirish yordamida kanonik ko’rinishga olib kelinadi.
Shuni 
ham ta’kidlab o’tish joizki, kanonik ko’rinishga olib kelingan tenglamaning ohirgi 
ko’rinishi geometrik tasvirga ega bo’lmasligi ham mumkin, masalan, 
𝑥
2 
+ 
𝑦
2 
+ 1 = 0 
tenglamasi. 
Misol 1.
8
𝑥
2 
+ 4
𝑥𝑦
+ 5
𝑦
2 
−
56
𝑥
− 32
𝑦
+ 80 = 0 
ikkinchi tartibli tenglamani kanonik ko’rinishga keltiring.
Yechish. 
Ushbu misolni batafsil ishlab chiqamiz. 
a) Koordinata o’qlarini birinchi formulalar yordamida 
𝛼
burchakka buramiz va 
quyidagiga ega bo’lamiz:
b) 
𝑥
1
𝑦
1 
ko
’
paytmaga ega hadlarni alohida ajratib olamiz: 

---

Ushbu ifoda ayniy nolga teng bo’lsin degan shart qo’yamiz. Bu quyidagi shartlarda 
o’rinli bo’ladi:
Undan 
𝑡𝑔𝛼
= −2 
va 
𝑡𝑔𝛼
= 1/2 ni topamiz. 
𝛼
burchakni shunday tanlaymizki, bunda 
𝑂𝑥
1 
o’qi 
𝑂𝑥
o
’
qi bilan musbat 
𝛼
= 
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
(1/2) burchak hosil qilsin. 
𝑡𝑔𝛼
= 
1 
tenglikdan quyidagilarga ega bo
’
lamiz: 
c) Topilgan ifodalarni a) punktdagi ohirgi tenglamaga qo’yib quyidagilarga ega 
bo’lamiz:
d)
Qavslarga mos sonlarni qo’shib (ayirib), ifodani to’la kvadrat holiga olib 
kelamiz: 
d)
Tenglamani kanonik ko’rinishga olib kelish uchun quyidagi almashtirishni va 
tenglamani 36 ga bo’lishni amalga oshiramiz

---

Barcha almashtirishlarni bajarganimizdan so’ng 
𝑂
2
𝑥
2
𝑦
2
koordinatalar sistemasida
yotuvchi quyidagi kanonik ko’rinishga ega ellips tenglamasini olamiz: