Amaliy matematika” fakulteti “chiziqli algebra va analitik geometriya” fanidan mustaqil ish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS
TA’LIM VAZIRLIGI


MIRZO ULUG‘BEK NOMIDAGI O‘ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI
JIZZAX FILIALI
“AMALIY MATEMATIKA” FAKULTETI
“CHIZIQLI ALGEBRA VA ANALITIK GEOMETRIYA” FANIDAN



MUSTAQIL ISH


MAVZU: Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalari

Topshirdi: 31-21 -guruh talabasi Xudoyberdiyev Dilshodbek

Qabul qildi: Sharipova Sadoqat
Jizzax 2022

Mavzu: Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalari

Ellipsning ikkita urinmasi o’zaro parallel bo’lsa, urinish nuqtalarini tutashtiruvchi kesma ellips markazidan, ya’ni nuqtadan o’tadi.
Fizikadan ma’lumki, nurning sirtga tushish burchagi qaytish burchagiga teng. Shuning uchun, ellipsning fokuslaridan biriga yorug’lik manbaini joylashtirsak, barcha nurlar ellips chizig’idan qaytib ikkinchi fokusda yig’iladi.
Teorema. Ellipsning bitta fokusidan chiquvchi nur sinishdan so'ng ikkinchi fokusga tushadi.
Isbot. Ellipsning chap F₁, fokusidan chiquvchi nur uning M nuqtasida sinib F₂ fokusga tushishini ko'rsatish uchun MF₁, va MF₂ to‘g‘ri chiziqlarning M nuqtadan o'tuvchi urinma bilan teng burchaklar hosil qilishini ko'rsatishimiz kerak. Biz ellipsning M nuqtasidan o'tuvchi urinmasini L bilan, L to'g'ri chiziqga nisbatan F₁ nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtani F₁^* bilan belgilaymiz. Agar _{1 2} , bo'lsa, F₁^*F2 to'g'ri chiziqning urinma bilan kesisish nuqtasi M urinish nuqta M bilan ustmaust tushmaydi. Shuning uchun
+ = +
tengsizlik o'rinli bo'ladi. Bu yerda a - ellipsning katta yarim o'qi.
Biz M^* nuqtani urinma bo'ylab M nuqtadan uzoqlashtira
boshlaymiz. Bunda yig'indi o‘sa boshlaydi. Boshlang'ich holatda bu уig‘indining qiymati, yuqoridagi tengsizlikka ko'ra
2a dan kichik F₁^* F₂^*
bo'lganligi uchun, yig'indi
o'sish natijasida qandaydir F₁ F₂
N nuqtada 2a ga teng bo'ladi. Bu nuqtadan fokuslargacha bo'lgan masofalarning yig'indisi 2a ga teng bo‘lganligi uchun, u ellipsga tegishli nuqta bo'ladi. Bundan esa L urinma ellipsni ikkita nuqtada kesishi kelib chiqadi. Ellipsning har bir urinmasi uni faqat bitta nuqtada kesib o'tganligi uchun biz ziddiyat hosil qildik. Demak, _{1 2} tenglik o'rinli bo'ladi. Teorema isbotlandi.

Giperbola va parabola uchun optik xossalar quyidagi teoremalarda keltirilgan. Giperbola uchun optik xossa ellipsning optik xossasiga o'xshaydi. Parabola uchun esa, optik xossa boshqacha formilirovka qilinadi. Agar biz yorug'lik manbaini, parabolaning fokusiga joylashtirsak,

R
M
F₂ F₁
F L

undan tarqaluvchi yorig’lik nurlari parabolaga urinib singandan so’ng direktrisaga perpendikulyar to’g’ri chiziqlar bo’ylab harakatlanadi. Bu chiziqlarning optik xossalari fan va texnikada ko’p qo’llaniladi. Misol uchun siz bilasizki paralaning optik xossasi antennalar yasashda ishlatiladi.

Teorema: Parabolaning fokusidan chiquvchi nur sinishdan so'ng uning o'qiga parallel to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi.
Parabolaning ixtiyoriy nuqtasiga o‘tkazilgan urinma fokal radius vektor va parabola simmetriya o‘qi bilan bir xil burchak tashkil etadi.
Y




M



O F X

Shu optik xossadan yorug’lik, tovush, radio va boshqa elektromagnit tolqinlarni uzatish va qabul qilish uchun turli sohalarda qo'llaniladi. Masalan, parabolik ko‘rinishdagi projektoming fokusida yorug'lik manbai joylashtirilsa, fokusdan chiqgan nurlar paraboloid sirtiga urinadi va rasmdagidek, yorug'lik nurlari parabola simmetriya o‘qiga parallel akslanadi. Bu xossadan shuningdek, fonarlar, avtomobil faralari, projektorlar, mikroto’lqinli relelar va sputnik antennalarda ham foydalaniladi. Radioteleskop va televizon sputnik antennalar yordamida parabolik reflektoming simmetriya o‘qiga parallel holda kiruvchi signallar reflektor fokusiga yo‘naltiriladi va signallar kuchaytiriladi.

Teorema.Giperbolaning bitta fokusidan chiquvchi nur sinishdan so’ng ikkinchi fokusga tushadi.
Foydalanilgan Adabiyotlar
1. A.Y. NARMANOV ANALITIK GEOMETRIYA TOSHKENT 2008
2.https://uz.denemetr.com/docs/769/index-330980-1.html
3. T.Shodiev. “Analitik geometriyadan qo’llanma”, “O’qituvhi”, T. 1973