Amaliy mashg’ulot Oddiy differensial tenglamalar (odt) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni yechishning taqribiy-usullari. (Galyorkin usuli. Eng kichik kvadratlar usuli.) Eng kichik kvadratlar usuli Integralli eng kichik kvadratlar usuli

₃-Amaliy mashg’ulot
Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni yechishning taqribiy-usullari. (Galyorkin usuli. Eng kichik kvadratlar usuli.)


Eng kichik kvadratlar usuli


Integralli eng kichik kvadratlar usuli

Bu usulda tafovut kvadratidan tuzilgan ushbu

integralning minimal qiymati izlanadi.
Integral minimumga erishishi uchun quyidgi shart bajarilishi zarur:
(8)
(8) shartlar (5) ga asosan , larga nisbatan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keladi:
(9)
bunda - skalyar ko‘paytma.
Agar funktsiyalar sistemasi kesmada chiziqli erkli bo‘lsa, u holda (9) sistema yagona yechimga ega bo‘ladi.


Diskret eng kichik kvadratlar usuli

Bu erda integralning minimumi o‘rnida

yig‘indining minimal qiymati izlanadi. Bunda – ixtiyoriy nuqtalar, .
Bu usulda ham larga nisbatan (9) ko‘rinishdagi sistemani hosil qilamiz. Faqat skalyar ko‘paytma bu holda

ko‘rinishida topiladi.
Agar bo‘lsa, u holda bu usul kollokatsiya usuliga keladi.
Namunaviy masalalar va ularning yechimlari
1-misol. Galyorkin usuli yordamida ushbu chegaraviy masalaning taqribiy yechimini toping [11]


Yechish. Berilgan masalada
, , , , , , ,
, , , .
da funktsiyalarni tanlaymiz. funktsiya chegaraviy shartni qanoatlantirishi kerak:

bo‘lsin, bu yerda – noma’lum koeffitsiyentlar. U holda

Bundan va bo‘ladi.
funktsiyalar bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi kerak:

Birinchi shart ko‘rinishidagi funktsiyalar uchun bajariladi. larning qiymatlari ikkinchi shartdan kelib chiqadi, bundan bo‘ladi. U holda , .
Shunday qilib, chegaraviy masala yechimini quyidagi ko‘rinishda izlaymiz

U holda (9) sistema ushbu ko‘rinishga ega bo‘ladi:

bu yerda
;
;
;
;
;

;
;

Yuqoridagilardan quyidagi sistemani hosil qilamiz

Bundan , .
Chegaraviy masalaning taqribiy yechimi ga teng bo‘ladi.