Amaliy mashg’ulot (2 soat) Mavzu

Kvantorlarning turlari Umumiylik va mavjudlik kvantorlari bir-biridan farq qilinadi.

Umumiylik kvantori «_{ }» belgisi bilan belgilanadi va «har bir», «hamma», «barcha», «istalgan» so‘zlari bilan ifodalanadi. _{ } inglizcha «All» so‘zining bosh harfidan olingan va «hamma» ma’nosini bildiradi.

Mavjudlik kvantori «_{ }» belgisi bilan belgilanadi, inglizcha «Exist» – «mavjud» so‘zining bosh harfidan olingan va «bor», «mavjud», «topiladi» so‘zlarini bildiradi.

Masalan, A(x): «x son tub son» predikatini olaylik, uni kvantorlar yordamida mulohazaga aylantiramiz, bu yerda x∈N. «Barcha x sonlar tub son» – yolg‘on mulohaza, x soni tub son bo‘ladigan qiymatlar topiladi» – rost mulohaza.

P(x): «x son 5 ga karrali», x∈N bo‘lsin. «Barcha x sonlar 5 ga karrali» – yolg‘on mulohaza, «5 ga karrali x son mavjud» – rost mulohaza.

Kvantorlar qatnashgan mulohaza (xX)P (x) yoki (∃x∈X)P(x) ko‘rinishda yoziladi va «X to‘plamning hamma elementlari uchun P(x) bajariladi» yoki «X to‘plamda P(x) bajariladigan elementlar topiladi», deb o‘qiladi.

Masalan, P(x): «x soni 3 ga karrali». x∈N bo‘lsin «Ixtiyoriy x soni 3 ga karrali» - yolg‘on mulohaza «3 ga karrali x sonlar mavjud» - rost mulohaza

Biz tо‘plamni uning elementlari qanoatlantiradigan xossalari orqali kо‘rsata olamiz. Keling biz P (x) ni x qanoatlantira oladigan yoki olmaydigan xususiyat uchun shartli belgi deb olaylik. Biz P ni predikat deb ataymiz. Qachonki P (x) rost bо‘lsa, biz “x o‘zgaruvchi P xususiyatiga ega deymiz. Masalan, P (x) “x o‘zgaruvchi 2 ga bо‘linadigan natural son” ma`nosini beradi deb faraz qilaylik. Agar biz N = {0, 1, 2, …} natural sonlar to‘plamiini olsak, 2 ga bо‘linadigan natural sonlar tо‘plami A: A = {x∈N|p(x)}_{ } (3.4)

Aytgancha, biz natural sonlarni nima ekanligini bilamiz, deb faraz qilgan holda izoh, namuna sifatida ishlatamiz. Biz ularga to‘plam nuqtai nazaridan keyinroq tо‘xtalib о‘tamiz.

Biz mantiq belgilari asosida quyidagicha yozamiz (∀x∈N)(x∈A⇔p(x)), (3.5)

Demak “N dagi hamma x uchun, agar va faqat agar x soni 2 ga bо‘linsa, x A to‘plamga tegishli bо‘ladi”. Biz “emas” ma`nosini beruvchi inkor (_{ }) tushunchasini ishlatgan holda umumiylik kvantori o‘rniga mavjudlik kvantorini ishlata olamiz, demak bizda (_{ }x)P(x) = _{ }(_{ }x)(_{ }P(x)). (3.6)

Ya’ni “hamma x uchun P (x) rost” ekanligi “P(x) bajarilmaydigan x mavjud emas” deb tushuntiriladi. Bizda shunga o‘xshash (_{ }x)P(x) _{ }(_{ }x)(_{ }P(x)). (3.7)

Umuman olganda, umumiylik kvantori qatnashgan mulohazaning rostligini isbotlash uchun o‘zgaruvchining barcha qiymatlarida predikat rost mulohazaga aylanishini isbotlash kerak bo‘ladi. Aksincha, uning yolg‘onligini ko‘rsatish uchun esa, 1 ta mulohaza yolg‘on bo‘ladigan holni ko‘rsatish kifoya.

Mavjudlik kvantori qatnashgan mulohazaning rostligini isbotlash uchun 1 ta misol keltirish, uning yolg‘onligini ko‘rsatish uchun o‘zgaruvchining barcha qiymatlarida predikat yolg‘on mulohazaga aylanishini isbotlash kerak bo‘ladi.