Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

ab
b
a


2
 
tengsizlikdan 
foydalanib 
isbotlash.Avvalo 
o’kuvchilarga 
uning 
sodda 
ko’rinishlarini isbotlashni taklif etish mumkin: 

---

 
51
    1. 
x
x
2
1


; 2.
2
1


x
x
; 3. 
xy
y
x


2
2
2
;4. 
2
2
2
)
(
)
(
2
y
x
y
x



 
       Shundan so’ng, kuyidagi ko’rinishdagi tengsizliklarni isbotlashga o’tish mumkin: 
    Agar 
z
y
x ,
,
  - musbat sonlar bo’lsa,  
                                   
)
(
4
4
4
z
y
x
xyz
z
y
x





 
 tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang. 
     
Buni isbotlash ikki marta asosiy tengsizlikni ko’llash orkali amalga oshiriladi. 
     
2.  Xarfiy  ifodani  yigindi    yoki  ayirma    shaklida  tasvirlash  usuli.  Bunda  kulay  shakl 
almashtirishlar  yordamida    ifodani  xadlarini  1  yoki  0  bilan  oson  takkoslash  mumkin  bo’lgan 
ko’rinishga keltiriladi. 
     Misol. x ixtiyoriy son bo’lganda  
                     
                                     
1
)
3
)(
2
)(
1
(





x
x
x
x
  
tengsizlikni  isbotlashda  uning  birinchi  va  to’rtinchi,  ikkinchi  va  uchinchi  xadlarni  aloxida 
ko’paytirib, tengsizlikning 
                                       
1
1
)
1
3
(
2
2




 x
x
  
isbotini olish mumkin. 
      
3. Xarfiy ifodalarni ko’paytuvchilarga ajratish usuli, bunda  agar o’suvchi funksiya  va a, 
v    bu  funksiya  aniklanish  soxasiga  tegishli  sonlar  bo’lsa,  u  xolda    (
0
))
(
)
(
)(
(



b
f
a
f
b
a
 
tengsizlik o’rinli bo’lishidan foydalaniladi. Masalan, musbat x va u sonlar uchun                 
                                                
2
6
2
6
4
4
x
y
y
x
y
x



 
tengsizlikni isbotlashda 
b
y
a
x


2
2
,
 belgilashlarni kiritib, yukoridagi  koidadan foydalanamiz. 
       4.  Darajani  o’z  ichiga  olgan  sonli  ifodalarni  ayniy  shakl    almashtirish  usuli,  bu  asosan 
darajaga  boglik  ifodalarni  katta    yoki  kichikligini  aniklashga  doir  masalalarni  yechishda 
ko’llaniladi. Bunga doir kuyidagi mashklardan foydalanish mumkin: 
      Takkoslang: kaysi katta 7
92    
 mi yoki 8
91
, 2
40 
 mi yoki 3
37
 ? 
     5. Matematik induksiya prinsipi asosida isbotlash usuli  natural sonlar va ularning yigindilari 
bilan boglik ko’p tengsizliklarni isbotlashda ko’llaniladi.Bunda o’kuvchilarga  xar bir kadamning 
asoslanishi  xamda  uning  turli  xil  ko’rinishlarini  xisobga  olgan  xolda  isbotlashga  o’rgatish 
maksadga muvofik. 
     Masalan,  agar ikkita natural sonlar ketma-ketligi berilgan bo’lib,  biror natural son m uchun 
m
m
b
a 
  o’rinli bo’lib, barcha 
m
k 
 lar uchun 
k
k
k
k
b
b
a
a





1
1
 bo’lsa, u xolda barcha n>m  
lar uchun 
n
n
b
a 
   o’rinliligidan foydalanib, tengsizliklarni isbotlash mumkin . Masalan, n
2

 
da 
n
n
1
1
1
...
3
1
2
1
2
2
2





  tengsizlikni shu usul bilan isbot-lash mumkin. 
      
Xuddi  shunga  o’xshash  ,    biror  natural  son  m  uchun 
m
m
b
a 
    o’rinli  bo’lib,  barcha 
m
k 
  lar  uchun 
)
0
,
(
1
1




i
i
k
k
k
k
b
a
b
b
a
a
  bo’lsa,  u  xolda  barcha  n>m    lar  uchun 
n
n
b
a 
o’rinli 
bo’lishidan  esa    1)  n
2

  da 
1
)
1
(



n
n
n
n
    ;  2) 
n
n
2
!
(n
)
4

;    3)   
)
3
(
2
2


n
n
n
  
tengsizliklarni isbotlash imkoniyati vujudga keladi. 
      Shunday kilib, maktabda algebra darslarida o’kuvchilarga isbotlash usullarini o’rgatishda xar 
xil  usullar  tadbiklarini  misollarni  muxokama  kilish  orkali  amalga  oshirilishi  yaxshi  natijalar 
beradi.  Bunda  universitetlar  talabalarini  uslubiy  tayyorgarligini  amalga  oshirishda  xam  bunga 
aloxida  e’tibor  berish  talab  etiladi  va  amaliy  mashgulotlarda  xamda  pedagogik  amaliyotda 
ko’llash usullariga bo’lajak o’kituvchilarni o’rgatib borish maksadga muvofik. 
 

---

 
52