Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

x
x
 ifoda fakat musbat kiymatlar kabul kilishini isbotlang. 
      2-boskichda  esa  tyest  savollarini  ko’llash  orkali  o’kuvchilarning  kvadrat  tyenglama  va 
tyengsizliklarni yechish usullari ko’nikmalarini egallashlari mustaxkamlanadi.Masalan: 
      1.
1
x
  va 
2
x
   
0
1
21
108
2



x
x
  tyenglamaning  katta  va  kichik  ildizlari  bo’lsa,  u  xolda 


2
1
x
x
  
             A.
12
5
 B.
30
1
 V. 36  G.
12
1
 D.- 
12
5
 
     3-boskichda  taxlil  etishga  doir    topshiriklar  muxokama  etiladi.  Masalan: 
2
)
5
(
3
x


 
ifodaning      eng  katta  kiymatini  toping;  ildizlari 
0
2
2


 x
x
tyenglama  ildizlaridan  2  marta 
katta bo’lgan kvadrat tyenglama tuzing. 
     4-boskichda kvadrat tyenglamalarni turdi  xil  masalalar  yechishdagi axamiyatini ko’rsatishda 
bu tyenglamalar bilan yechiladigan masalalar sinflari aloxida anik misollar asosida ko’rsatilishi, 
masala taxlilini muaffakiyatli amalga oshirish uchun imkoniyat yaratadi. Bunda kuyidagi sinflar 
ajratib ko’rsatilishi mumkin: 
     1.Tuzilgan kvadrat tyenglama ildizlarga ega emas(masala yechimga ega emas). 
     2.Tuzilgan kvadrat tyenglama bitta xakikiy ildizga  ega, u xam masala yechimi bo’la olmaydi. 
     3.Kvadrat tyenglama bitta ildizga ega va u masala  yechimi bo’ladi. 
     4.Kvadrat  tyenglama  ikkita  rasional  yechimga  ega,  ikkalasi  xam  masala  masala  shartini 
kanoatlantirmaydi. 
     5.Kvadrat tyenglama ikkita ildizga ega, ulardan biri masala yechimi bo’ladi, ikkinchisi masala 
shartini kanoatlantirmaydi. 
     6.Kvadrat tyenglama ikkita ildizga ega va ikkalasi xam masala yechimi bo’ladi. 
     5-boskichda  esa  mazkur  tyenglama  va  tyengsizliklarni  yordamida  isbotlashga  doir 
masalalarni  yechish  va  nixoyat  oxirgi  boskichda  kvadrat  tyenglamalar  ildizlarini  tyekshirish 
paramyetrga  boglik  masalalarni  taxlil  kilish  amalga  oshiriladi.Bu  boskichlarning  xar  biridagi 
o’kuvchilar faoliyati ularning fikrlash faoliyatini rivojlantirishga muxim ta’sir ko’rsatadi. 
         Tyengsizliklarni  o’rganish  xususiyatlari  kuyidagilardan  iborat:  tyengsizliklar  nazariyasi 
xakida  tushunchalar  byeriladi;  yechishda  ko’rgazmali-grafik  vositalardan  foydalaniladi; 

---

 
108
yechishning  maxsus  usullari  xamda  nostandart  usullaridan  foydalaniladi;  tyengsizliklarni 
isbotlashga doir mashklarni yechish xam amalga oshiriladi.         
 
                        
10 – Seminar mashg’ulot 
              MAVZU: FUNKSIYALAR VA GRAFIKLARNI O’RGANISH 
 
1.  Funksiya tushunchasining kiritilishi va o’rganilishi. 
      
2. Asosiy elyemyentar funksiyalar. 
3.  Funksiyalar xossalari va grafiklarini o’rganish. 
4.Algyebra darslarida ukuvchilar  funksional tafakkurini ustirish uslubiyati xakida 
      
 
      1.  Funksiya tushunchasining kiritilishida asosiy  e’tiborli  jixat shundan  iboratki, o’kuvchilar 
turli  xil  funksional  boglanishlar  to’grisida  umumiy  tasavvurlarga  ega,  ya’ni  bir  mikdorning 
o’zgarishi bilan ikkinchi  bir mikdor kandaydir konuniyat asosida o’zgarishini xayotiy misollarda 
ko’rsatish  zarurati  tugiladi.  Shuning  uchun  funksiya  tushunchasini  va  uning  ta’rifini  byerishda 
turmushdagi turli xil jarayonlardagi funksional boglanishlar xakida zarur tushuncha va bilimlarni 
byerish talab etiladi. 
        
Funksiya  tushunchasiga  ta’rif  byerishda  ikki  to’plam  orasidagi    moslik  tushunchasini 
yoritib  byerish  lozim.  Bunda  ikki  to’plam  elyemyentlari  orasidagi  bu  moslik  biror  konuniyat 
asosida ro’y  byerishini  va shuning uchun  funksiya  ikki to’plam: aniklanish soxasi  va o’zgarish 
soxasi  bilan  byerilishi  xamda  bunda  xar  bir  to’plam  elyemyentlari  bir-biriga  ma’lum  bir 
boglanishda ekanligini tushuntirish zarur.  
       O’kuvchilarga  funksiya  ta’rifini  byergandan  so’ng,  uning  uch  xilda  byerilishi  usuli  xakida 
bilimlar  byerish  imkoniyati  tugiladi,  ya’ni:  analitik,  jadval,  grafik.  Bu  usullarning  bir-biriga 
munosabatini  o’rnatish  xam  ukuvchilarning  funksiya  xakidagi  dastlabki  tushunchalarini 
mustaxkamlashga xizmat kiladi. 
        Bunda  masalan,  kanday  kilib,  analitik  usulda  byerilganda  uning  grafigini  yasash,  yoki 
tyeskari  masala,  grafigi  byerilganda  uning  analitik  byerilishini  topish  xakida  muxokama  
o’tkazish  mumkin.Albatta  ko’pincha  birinchi  masala  ko’p  marta  karaladi  va    formula  funksiya 
grafigini tasvirlash uchun barcha imkoniyatlarni byeradi. Lyekin  agar funksiya grafigiga karab 
uning  analitik  ifodasi  yoki  formulasini  topish  kiyinchiliklar  tugdiradi.  Buni  syezgan  xolda 
o’kituvchi  shunday  grafik  mashklardan  foydalanishi  lozimki,  o’kuvchi  muntazam  ravishda 
grafikdan(uning eskizidan) funksiya analitik ko’rinishi xakida tasavvurga ega bo’lsin, bu albatta 
ma’lum kiyinchiliklar va malakalarni talab etadi. 
      
Xuddi shunday xar bir boshka jadval-formula, formula-jadval, grafik-jadval, jadval-grafik 
kabi  funksiya  byerilish  usullari  munosabatlarini  muxokama  etib,  ularga  doir  zarur  mashklarni 
yechish maksadga muvofik bo’ladi. 
       
Bundan tashkari, funksiya byerilish usullari maxsus xollarini xamda funksiyani fakat so’z 
bilan  ifoda  etadigan  usul  xakida  xam  ma’lumotlar  byerish  mumkin.  Masalan,  analitik  usulda 
byerilishda fakat bitta formula emas, bir nyechta formula yordamida byeriladigan funksiyalarga 
misollar kyeltirib o’tish  mumkin. So’z bilan ifoda kilinadigan funksiyalarga kuyidagi misollarni 
kyeltirish mumkin: antye funksiya,  x dan kichik eng katta butun son, Dirixlye funksiyasi (barcha 
rasional sonlarda 1, irrasional sonlarda esa 0 ga tyeng). 
        
Funksiya  tushunchasini  kiritishda  uning  aniklanish  va  o’zgarish  soxalari  oshkora 
byerilmaganda kanday kilib topish, yoki grafik usulda byerilganda bu soxalarni kanday aniklash 
mumkinligi  xakida  ma’lumotlar  byerish  o’kuvchilar  funksional  tafakkurini  o’stirish  uchun 
xizmat kiladi. 
         Funksiya  xakida  dastlabki  umumiy  tushunchalarni  byerishda  yana  funksional 
byelgilashlarga  aloxida  e’tiborni  karatish,  funksiya  kiymatlarini  xisoblash  malakalarini  tarkib 
toptirish  yaxshi  natijalar  byeradi.  Bunga  doir    funksiyaning  byerilgan  nuktadagi  kiymatini 
topishga doir xisoblash, isbotlash va boshka masalalarni  karab chikish xam ularning funksional 

---

 
109
tasavvurlarini  o’stirishda  axamiyatga  ega.  Shuningdyek,  ba’zi  jarayonlar  o’zgarishini  funksiya 
bilan  ifodalash,  fizik,  gyeomyetrik  mazmunli  matnli  masalalarni  yechish    xam  ijobiy  natijalar 
byeradi.  
         2. Maktabning 7-sinfidan boshlab kuyidagi funksiyalar o’rganiladi, bular: chizikli funksiya, 
kvadratik  funksiya,  darajali  funksiya,  logarifmik  va  ko’rsatkichli  funksiya,  trigonomyetrik 
funksiyalar.   
          Bu  funksiyalarni  o’rganish  ularning  xossalarini  kyeltirib  chikarish  asosida  amalga 
oshiriladi. 
       
Eng  dastlab  chizikli  funksiya  xossalari  batafsil  o’rganilib,  aniklanish  va  o’zgarish 
soxalari,  burchak  koeffisiyenti  tushunchasi  tadkik  etilib,  uning  grafigi  to’gri  chizikdan  iborat 
ekanligi  ta’kidlanadi.  Bunda    dastlab  u=kx  so’ngra  esa  u=kx+v  ko’rinishdagi  funksiyalar 
tyekshirilib, ularning xossalaridan o’suvchiligi va kamayuvchiligi xakida bilimlar byeriladi.   
       
Kvadratik funksiya esa dastlab u=x
2
  funksiya va uning xossalari muxokama etilib, uning 
kaysi oralikda o’sishi yoki kamayishi, juft funksiya ekanligi ordinata o’kiga nisbatan simmyetrik 
joylashishi  xakida  tushunchalar  byeriladi.  Shundan  so’ng  u=ax
2
  ,  u=ax
2
+v  va  u=a(x-s)
2
+    v  va 
nixoyat  umumiy  ko’rinishdagi  kvadratik  funksiya  karaladi.  Bunda  xar  bir  funksiya  xossalari 
xamda uni tyekshirish usullari  bayon kilinadi. Bunda asosan kuyidagi o’kuv  masalalari  muxim 
xisoblanadi:  funksiya  nollarini  topish,  uning  grafigi(parabola)  uchlari  koordinatalarini  topish, 
koordinata  o’klari  bilan  kyesishish  nuktalarini  topish,  o’sish  va  kamayish  oraliklarini  topish, 
funksiyaning eng katta va eng kichik kiymatlarini elyemyentar usullar bilan aniklash.  
         Funksiyalarni  o’rganishda  o’kuvchilarni  funksiya  tyekshirishning  umumiy  sxyemasi 
asosida ish yuritishlariga ko’niktirib borish zarur. Bunda dastlab funksiya aniklanish va o’zgarish 
soxalarini  o’rnatish,  funksiyaning  nollarini  topish,  o’sish  va  kamayish  oraliklarini  topish, 
funksiyaning  eng  katta  yoki  kichik  kiymatlarini  topish,  juftligini  tyekshirish  va  bular  asosida 
grafikni yasash ko’nikmalarini tarkib toptirish muxim axamiyatga ega.  
        Darajali  funksiyani  o’rganishda  p  ning  kiymatlariga  mos  uning  xossalari  turlicha  bo’lishi 
xakida  bilimlar  byeriladi.  Bunda  umumlashtirish  va  maxsuslashtirish  orkali  zarur  bilimlarni 
shakllantirish imkoniyati tugiladi. 
        Ko’rsatkichli va logarifmik funksiyalarni o’rganishda esa asosiy e’tibor o’kuvchilarning bu 
funksiyalarning o’zaro boglikligi asosida tushunishlariga imkon byerish xamda tyeskari funksiya 
tushunchasini  chukur  o’zlashtirishlariga  zarur  tushuntirish  va  ko’shimcha  mashklardan 
foydalanish  yaxshi  natijalar  byeradi.  Bundan  tashkari,  bu  funksiyalar  xossalarini  chukur  bilish  
ko’rsatkichli va logarifmik tyenglama va tyengsizliklarni yechishda asosiy o’rinni egallaydi. 
         Trigonomyetrik funksiyalarni o’rganishda kuyidagi asosiy jixatlar e’tiborga olinishi zarur: 
        -  trigonomyetrik  funksiyalar  davriy  funksiyalar  bo’lib,  ularning  aniklanish  va  o’zgarish 
soxalari, o’sish va kamayish oraliklarini takkoslash asosida bayon etish zarur; 
        - trigonomyetrik funksiyalarni tyekshirishda o’kuvchilar tyegishli xossalarni trigonomyetrik 
birlik  doira  va  koordinatalar  sistyemasida  tasvirlagan  xolda  muxokama  yuritish  ularning 
funksional tasavvurlarini rivojlantirish uchun asos bo’ladi. 
          Trigonomyetrik  funksiyalarga  doir  o’kuv  masalalari  ichida  kuyidagilar  darslarda  karab 
chikilishi mumkin:trigonomyetrik funksiyalar kiymatlarini xisoblash, trigonomyetrik funksiyalar 
juft-tokligi,  davriyligini  aniklash,  eng  kichik  musbat  davrini  topish,  eng  katta  va  eng  kichik 
kiymatlarini topish, trigonomyetrik funksiyalar grafiklarini yasash. 
        
Umuman  olganda,  xar  bir  elyemyentar  funksiyalar  sinfini  o’rganganda,  ularning  asosiy 
xossalari  bilan  birga,  maktab  matyematika  kursi  boshka  yo’nalishlari  bilan  xam  uzviy  alokani 
o’rnatish zarur, masalan, trigonomyetrik tyenglama va tyengsizliklarni yechish na fakat analitik 
usul bilan balki grafik usulda yechilib, ularni takkoslash, funksional nuktai nazardan yechimlarni 
tyekshirish bu funksional yo’nalish tadbiklarini o’rgatishda aloxida axamiyatga ega bo’ladi.   
       3.  Funksiyani  o’rganishda  uning  grafigini  yasashga  o’rgatish  asosiy  malakalardan 
xisoblanadi.  Shuning  uchun  xar  bir  funksiyalar  sinfini  o’rganishda  uning  grafigi  xaraktyerli 
xususiyatlari  xamda  yasash  algoritmi  o’kuvchilarga  tanishtirilishi  zarur.  Bunda  o’kituvchi 

---

 
110
umuman grafik usul funksiyalarni tyekshirishning muxim kuroli ekanligiga ishonch xosil kilishi 
talab etiladi.  
       
Xozirgi davrda xam funksiyalar grafiklarini yasash amaliy ko’nikmalarini tarkib toptirish 
unchalik xam axamiyat kasb etmasada, yangi tyexnologiyalar, supyer EXM larning xayotga joriy 
etilishi  ancha  murakkab  jarayonlar  funksional  boglanishlarini  va  ularning  grafiklarini  yasash 
byekiyos  imkoniyatlariga  ega.  Lyekin  o’kuvchilar  funksional  tasavvurlarini  oshirishda  grafik 
savodxonlikni  bo’lishi,  kyelajakda  mutaxassislarning  turli  jarayonlar  boglanishlari  xakida 
dastlabki tushunchalarni paydo kilish uchun axamiyatli xisoblanadi.  
       
Xar  bir  funksiya  grafigini  yasash  algoritmi  mavjudligi  va  grafikni  aniklovchi  tyegishli 
ma’lumotlar  xajmi  o’kuvchilarda  funksiya  grafiklarini  optimal  usulda  yasash  yoki  eskizini 
yasashga o’rgatish muximdir. Bunda funksiya grafiklarini almashtirishlari xakida o’kuvchilarga 
tushunchalar  byerish,  ma’lum  kismni  yasash  orkali  butun  grafik    xakida  tasavvur  bo’lishiga 
erishish mumkin. Shuningdyek, grafikni yasashda funksiya xossalaridan foydalanish xakida xam 
zarur  ma’lumotlar  byerish  mumkin:  funksiya  juftligi  yoki  davriyligi  xossalari  uning  grafigini 
yasash uchun imkon byeradi.  
        
Funksiya  grafiklarini  almashtirishlaridan  OX  o’ki,  OU  o’ki  bo’yicha  sijitish,  yoki 
ikkalasinining  xam  bir  vaktda  bajarilishi,  simmyetriya,  grafikni  cho’zish,  kisish  va  parallyel 
ko’chirish  xamda  uning  kombinasiyalaridan  iborat  almashtirishlarni  ko’llashga  doir  mashklar 
yechish o’kuvchilarning grafikaviy ko’nikmalarini o’stirish bilan birga ularning  o’rganilayotgan 
funksiya  xossalarini  chukur  egallashga  imkon  byeradi.  Shuningdyek,  o’kuvchilari  funksional 
madaniyatini  o’stirishda  grafik  savol-mashklar,  tyenglama  va  tyengsizliklarni  grafik  usulda 
yechish,    grafik  asosida  funksiyalar  xossalarini  ajratishga  doir  mashklardan  foydalanish  yaxshi 
natijalar byeradi. 
4.  Ma’lumki,  maktabda  ukuvchilarning  matyematik  bilimlarini  chukurlashtirishda 
funksional  tafakkur  saviyasini  rivojlantirish  asosiy  xisoblanadi.  Bunda  funksiya  tushunchasi  va 
uning moxiyatini urganishga doir maxsus mashklar majmuasi aloxida axamiyatga ega. 
      1.  Biz  kuyida  funksiya  tushunchasini  urganishda  taklif  etiladigan  topshirik  va  savollar 
tuzilishiga tuxtalib utamiz. 
1)  Funksiyalar turli xil  usullarda byerishdagi uzaro alokani urnatadigan mashklar: 
-  formula buyicha funksiya kurinishini tanish; 
-  grafik buyicha funksiya kurinishini aniklash; 
-  Funksiya grafigini ukiy olish; 
-  Formula bilan byerilgan funksiyani tyekshirish; 
-  Formula bilan byerilgan funksiya grafigini yasash; 
-  Xarfiy koeffisiyentli tyenglamalarni yechish; 
-  Grafik bilan byerilgan  funksiya formulasini topish; 
-  Grafiklari buyicha  funksiya paramyetrlarini topish va takkoslash; 
-  Jadval buyicha byerilish usulidan formula byerilishiga utish. 
2)  Analitik byerilgan funksiyani aniklay olish algoritmi  kuyidagi kadamlarni uz ichiga oladi: 
-  agar uzgaruvchilar kursatilmagan bulsa, uni aniklash; 
-  funksiyani  argumyent  va  uzgarmaslar  orkali  ifodalash,  zarur  shakl  almashtiririshlarni 
bajarish; 
-  funksiyaning  analitik  ifodasidagi  xadlarni  argumyent  darajalari  usish  (kamayish)  tartibida  
joylashtirish; 
-   xosil kilingan ifodani taxlil etish ( xosil kilingan ifodani ma’lum funksiyalar analitik ifodasi 
bilan takkoslash ); 
-  uzgaruvchilar orasidagi boglanish xaraktyerini aniklash. 
3)  Funksiya grafigini ukiy olishga doir kuyidagi mashklardan foydalanish mumkin: 
-  Bu funksiya grafigi bulib…. xisoblanadi va…. dyeb ataladi; 
-  Grafik tarmoklari… ga yunalgan, chunki….; 
-  Byerilgan funksiya grafigi OX uki (OU uki) ni … larda  kyesib utadi; 
-  Byerilgan funksiya  x ning…. kiymatida maksimal (minimal) kiymatga ega;  

---

 
111
-  X ning… kiymatlarida funksiya usadi, … kiymatlarida kamayadi; 
-  Funksiyaning nollari bulib… xisoblanadi.; 
-  ….. kiymatlarida funksiya musbat kiymatlar, … kiymatlarida manfiy kiymatlar kabul kiladi. 
4)  Funksiyani tyekshirishga doir masalalar: 
-  ukuvchilarga ma’lum bulgan xossalarni kullashga  doir masalalar; 
-  formula bilan byerilgan funksiyalarni tyekshirishga oid masalalar. 
-  Paramyetrlarga kura funksiyani tadkik etish. 
5)  Formula  buyicha  funksiya  grafigini  yasashga  doir  masalalarni  yechishda  asosiy  e’tibor 
kuyidagilarga karatilishi zarur: 
      
Funksiya grafigini taxminiy tasvirlay olish; jadvalsiz, lyekin formula buyicha yasay olish; 
funksiya turini aniklay olish; funksiya aniklanish soxasini e’tiborga olib, uning grafigini tasvirlay 
olish kabi kunikmalarni shakllantirish talab etiladi.   
                
                      
11 – Seminar mashg’ulot