Algebraik tengsizliklarni yechish usullari’’

2.5.Irratsional tengsizliklar
va butun ifodalar bo’lganda ko’rinishdagi tengsizliklar. Sakkiz yillik maktablarda o’ng va chap tomoni butun ifodalar bo’lgan bir o’zgaruvchili tengsizliklar qaraladi.
Tenglamalarda ko’rib o’tganimizdek, chap va o’ng tomonlari butun ifodalar bo’lgan tengsizlikni ikki tomonga ifodani qo’shib, ayniy almashtirishlardan so’ng berilgan tengsizlikka tengkuchli bo’lgan biror ko’phad tengsizlikni hosil qilamiz ko’phadning darajasiga bog’liq bo’lgan quydagi ko’rinishdagi tengsizliklar hosil bo’lishi mumkin :


va h.k.
Biz va singari tengsizliklarni o’rganish bilan chegaralanamiz.
ko’rinishdagi tengsizlik deyiladi. tengsizlikni yechishni ko’raylik. Bunday tengsizlikni yrchishda va hollar bo’lishi mumkin.
bo’ganda tengsizlikning yechimi ( ) yoki oraliqlarda bo’ladi. va bo’lganda ning yechimi oraliqda joylashgan bo’ladi.
va bo’lganda tengsizlik yechimga ega o’lmaydi.
tengsizligi ham yuqoridagi usulda yechiladi. bo’lganda bu tengsizlikning yechimi yoki oraliqda joylashgan bo’ladi. va bo’lganda tengsizlikning yechimi mavjud emas. bo’lganda esa yechimlari oraliqda joylashgan bo’ladi. CHiziqli tenlama va chiziqli tengsizliklarni yechish algoritmlari bir-biriga o’xshash. SHu sababdan bu tomonlarni birgalikda o’rganish chiziqli tengsizliklarni yechish algoritmini o’rganishni osonlashtiradi. Biroq o’quvchilar bu ikki mavzuni birgalikda o’rganishda tengsizlik ishoralarini to’g’ri baholamaydilar.
SHuning uchun o’qituvchi bu borada o’quvchilar bilan maxsus ish olib borishga to’g’ri keladi. Ko’pchilik matematik masalalarda bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizliklar sistemasini yechish bilan uni to’g’ri hal qilishga to’g’ri keladi. Masalan, ifodalarni aniqlash sohasini topish uchun sistemani yechimini topish, yoki tengsizlikni yechish uchun esa va sistemalarni yechib, yechimlar birlashmasini topish lozim bo’ladi. shu sababdan algebra kursida bir o’agaruvchili chiziqli tengsizliklar sistemsini o’rganishga alohida e’tibor qilinadi. Sistemani yechishda, undagi har bir tengsizlik alohida yechilib, sistema uchun javob ularniing umumiy qiymatlari olinadi.
Sistemalar ikkidan ortiq tengsizlik ishtirok etsa ularga tengkuchli bo’lgan ikki tengsizlikdan sistenaga keltiriladi. Sakkizlik yillik maktablarda chiziqli tengsizliklardan tashqari ko’rinishdagi tengsizliklarni yechishda funksiya grafigini abstsissa o’qiga nisbatan joylashishiga e’tibor qilinadi. Bunda ikta shart mavjud :

1. 
   kvadrat uchhadning diskriminantining qiymati musbat, nol yoki manfiy bo’lishi mumkin.
   
2. 
   koeffisientining ishorasining belgisi qanday ?
   

Agar bo’lsa, parabola abstsissa o’qini ikki nuqtada kesadi, agar bo’ganda parabol uni abstsissa o’qi bilan kesishadi, bo’lganda esa parabola abstsissa o’qi bilan umumiy nuqtaga ega emas. koeffisientining ishorasi parabolaning “tarmoq” larga bog’liq bo’ladi. bo’lganda parabola tarmoqlari yuqoriga, esa pastga qaratgan bo’ladi.
Bulardan chiqib, funksiyasining grafigini koordinatalar yekkisligida sxematik tasvirlashimiz mumkin.
Tasvirda parabola uchini koordinatalari, ordinata o’ziga nisbatan vaziyati bizni qiziqtirmaydi. Bizni faqat parabola abstissa o’qi bilan kesishadimi ? kesishsa nacha nuqtada va qanday nuqtalarda kesishishligi hamda parabola tarmog’ini yo’nalishi qiziqtiradi. Bu aytilganlarni aniq misolda ko’rib o’taylik. bizga tengsizligi berilgan bo’lsin uchhadni diskriminantini hisoblab ni topamiz. ekan. funksiya grafigi abstsissa o’qini ikki nuqtada kesib o’tadi. Bu nuqtalar va 2 lardan iborat. Parabola tarmoqlari yuqori qaraganigina hisobga olib, parabola lari o’qining va 2 nuqtalaridan o’tishligini bilamiz. CHizamad foydalanib, tengsizlikning yechimini quydagicha yoza olamiz : ( . Misollar ishlashda har doim parabolani chizish shart emas. Berilgan qiymatlarga asosan, parabolani fikridan tasavvur etib, tengsizliklarning javobini yozish lozim. kvadrat uchhadning diskriminantini manfiy bo’lsa, kvadrat uchhaddan ikkihadning kvadratini sjratib olib, ifodasining har doim musbat, yoki har doim manfiy ekanigini bilish mumkin va uni yoki tengsizlik yechimi uchun ifodalanish mumkin, misol uchun tengsizlikdagi kvadrat uchhadning diskriminanti manfiy, uni o’ziga teng kuchli bo’lgan tengsizlik bilan almashtiramiz. Tengsizlikning yechimi mavjud emas. SHunga asosan, berilgan tengsizlikning yechimi ham mavjud emas. Endi tengsizlikni ko’raylik. Uning diskriminanti ham manfiy berilgan tengsizlikning o’ziga teng kuchli bo’lsa tengsizlikka keltiramiz. Bunday tengsizlikning yechimi butun sonlar o’qidan ya’nin dan iborat.
Agar bo’sa, ko’rinishdagi tengsizlik yoki yechimga ega bo’lmaydi yoki uchhdni ildizidan boshqa ning hamma qiymatlariga tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Misol ko’raylik, tengsizligi tengsizligiga tengkuchli. Keyingi tengsizlik ning harqanday qiymatida ham manfiy bo’lolmasligi uchun tengsizlik yechmga ega emas. tengsizligini ko’raylik bu tengsizlik tengsizligiga teng kuchli. Demak, ning dan boshqa hamma qiymatlarida tengsizlik o’rinli. Tengsizlikni qanoatlantiradigan soha dan iborat. Agar bo’lsa, tengsizlikni yechish uchun undagi kvadrat uchhadni ko’paytuvchilarga ajratib, ko’paytmani musbat (manfiy) dan foydalaniladi. Masalan, : tengsizligi tengsizligiga tengkuchli. So’nggi tengsizlik esa yoki sistemalarga tengkuchli. Demak, tengsizlikni ning oralqdagi qiymatlari qnoatlantiradi. va – ratsional ifodalar bo’lib, ularning kamida biri kasr bo’lgan ko’rinishdagi tengsizliklar. SHunday ko’rinishdagi tenglamalarga o’xshash tengkuchli bo’lgan tengsizlikka keltirish mumkin. ifodani surat maxraji ko’phad bo’gan o’ziga aynan teng kasrga keltirish mumkin. agar shunday shakl almashtirishlar bajarilganda ifodaning aniqlash sohasi o’zgarmasa, u holda tengsizligiga tengkuchli bo’lgan tengsizlikka ega bo’lamiz. Agr shakil almashtirishlar natijasida berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasidan kengroq tengsizlik yuzaga kelsa, u holda berilgan tengsizlik, hosil bo’lgan tengsizlik bilan ning olishi mumkin bo’lmagan qiymatidan tuzilgan tengsizlik sistemasiga tengkuchli bo’ladi.
Mamanfiy bo’lmagan salan, (1) tengsizligiga tengsizligiga teng kuchli. Agar kasrda qisqartirishni bajarsak kasr ifoda o’rniga butun ifodaga ega bo’lamiz. Bu tengsizlik (1) ga tengkuchli emas. Haqiqatdan tengsizligi oraliqdagi ixtiyoriy sonlarni qanoatlantiradi. SHu jumadan 3 sonini ham. (1) tengsizliklarni esa 3 soni qanoatlantirmaydi. SHuning uchun ham (1) tengsizlikka tengkuchli bo’lgan quydagi sistemaning yechimi berilgan tengsizlikni qanoatlantiradi. tengsizlikni yechimi, tengsizlikdagi sonli kasrni musbat (manfiy) bo’lishligi surat va maxraji bir xil tengsizlikdan (har xil tengsizlikdan) iborat bo’lishligiga bog’liq. SHuning uchun ham tengsizligi yoki sistemaga teng kuchli.
tengsizligi esa, yoki sistemasiga teng kuchli.
Sakkiz yillik maktablarda ko’rinishdagi tengsizliklarni ifodalar chiziqli ikkihadli bo’lgan yoki ulardan chiziqli ikkihad bo’lgan, ikkinchisi esa faqat musbat (manfiy bo’lmagan) qiymatlar yoki faqat manify (musbat bo’lmagan) qiymatlarni qabul qiladi.
ko’rinishdagi tengsizlikni chiziqli tengsizliklar sistemasiga keltirib yechiladi.
Masalan, tengsizligi yoki har bir sistemani yechimini topib, ularni birlashmasini topamiz ( . agar tengsizligiga ifodalardan biri o’z ishorasini saqlasa, u holda ikkita sistemani yechishning xojati yo’q. Haqiqatdan, tengsizligi ga teng kuchli, tengsizligi sistemasiga teng kuchli.
O’ZGARUVCHISI MODULGA TEGISHLI BO’LGAN TENGSIZLIKLAR.
Sakkiz yillik maktablarda o’zgaruvchisi modulga tegishli bo’lgan quydagi ko’rinishdagi tengsizliklar va uchraydi.
Bunday tengsizliklarni yechish koordinatasi to’g’ri chiziqli nuqtala orasidagi masofa tushunchasiga asoslangan.
tengsizlikni yechish kerak bo’lsin.
ifoda koordinatalar to’g’ri chizig’ida koordinatalari va 2 ga teng bo’lgan masofani bildiradi. Bu holda berilgan masalani boshqacha ifodalash mumkin : koordinatasi 2 son bo’lgan nuqtadan uzoqda 6 birlikdan ham bo’lgan nuqtalarning koordinatalari to’plamini toping. Koordinatasi 2 bo’lgan nuqtadan 6 oraliq uzoqda bo’lgan nuqtalarni koordinatalari -4 va 8 bo’ladi. shu nuqtalar orasidagi hamma nuqtalar koordinatasi 2 nuqtadan 6 birlik kichik bo’lgan nuqtalardir. U holda tengsizlik tengsizligiga teng kuchli bo’lib, uning yechimi (-4,8) oraliqda bo’ladi. shuningdek tengsizligi ham yoki tengsizliklariga teng kuchli bo’lib, uning yechimlari to’plami ( oraliqlarda bo’ladi.
Agar tengsizlik bo’lib, musbat son bo’lganda, bu tengsizlikning yechimini ko’rinishda yozish qulayroq. va tengsizliklarini yuqoridagi usuldan boshqacha, ya’ni sonning moduli ta’rifidan foydalanib yechish ham mumkin.
Masalan, tengsizligi uchun quydagicha muhokama yuritish mumkin. Moduli 6 kichik bo’lgan sonlar oraliqda joylashgan bo’ladi. tengsizligini quydagicha yozish mimkin :
bundan Demak, berilgan tengsizlikning yechimlar to’plami oraliqda joylashgan bo’ladi. shuningdek tengsizligi uchun quydagicha muhokama yuritamiz. Modul 6 dan katta sonlar -6 dan kichik +6 dan katta sonlar hisoblanadi, uholda tengsizligiga yoki tengsizliklar teng kuchli ulardan esa yoki kelib chiqadi. Berilgan tengsizlikning yechimi dan iborat.
Qo’shimcha mashg’ulotlarda, ko’rib o’tilgan misollardan murakkabroq topshiriqlar berish mumkin. masalan, tengsizligini yechish talab etilsin. Bu qo’sh tengsizlikni rquydagi ko’rinishda yozish mumkin. ularning har birini yechib, yechimlar to’plamning kesishmasini (umumiysini) yozamia. tengsizlikni boshqacha yozish ham mumkin. buning uchun va bo’lgan hollarni alohida qaraymiz. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi. berilgan tengsizlik ko’rinishga kelib, natijani olish mumkin. Agar bo’lsa, uholda bo’ladi. berilgan tengsizlik ko’rinishiga kelib, natija olish mumkin. u holda tengsizligini yechimi va bo’lib, ularning birlashmasi dan iborat.
IRRATSIONAL TENGSIZLIKLAR.
Sakkiz yillik maktablarda irratsional tengsizliklar ham irratsional tenglamalar singari o’ziga mos funksiya xossasini o’rganish prossesida o’rganiladi. Demak, irratsional tengsizliklar funksiyaning xossasini o’rganishga asoslanadi. Faqat ( ixtiyoriy son) ko’rinishdagi tengsizlik o’rganilib, uning yechimi irratsional tenglama yechimi bilan birga o’rganiladi. Masalan,

1. 
   
   
2. 
   
   

1. 
   Topshiriqda da bo’ladi, funksiyasi o’suvchi va ning har qanday qiymatida aniqlanganligidan foydalanib dan , dan kelib chiqadi.
   

Demak, birinchi tengsizlik uchun oraliqdagi ikkinchisi uchun oraliqdagi qiymatlar toplami javob bo’ladi.

2. 
   Topshiriqda dan bo’ladi.
   

So’ngra funksiyani aniqlanish soxasi va o’suvchiligini hisobga olib, quydagini yozish mumkin
dan
dan
Birinchi tengsizlik uchun , ikkinchisi uchun oraliqdagi qiymatlar javob bo’ladi.
Xulosa
Tengsizliklarning umumiy xossalari. Bevosita isbotlash usuli. Tengsizlikni kuchaytirish usuli. Sonlarni taqqoslashga oid matnli masalalar.
Yig‘indining eng kichik qiymati. Ko‘patmaning eng katta qiymati. O‘zaro teskari sonlar uchragan tengsizliklar. O‘rta arifmetik va o‘rta geometrik miqdorlar orasidagi munosabatlar. Bernulli tengsizligi tengsizliklar va ularning tadbiqlari.
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. Matematik induksiya usuli. Shartli tengsizliklar. Kvadrat uchhad tadbiqlari. Bir nomalumli chiziqli tengsizliklar va bir noma’lumli chiziqli tengsizliklar sistemasini yechish. Kvadrat tengsizliklarni yechish. Yuqori darajali tengsizliklarni yechish, oraliqlar usuli. Parametrli tengsizliklarni yechish. Tengsizliklar sistemasi. Modul qatnashgan tengsizliklarni yechish Ratsional tengsizliklarni yechish. Irratsional tengsizliklarni yechish. Chet ildiz, ildizning yo‘qolishi.

Foydalangan adabiyotlar
1.И.А.Каримов. Баркамолавлод – Ўзбекистон тараққиётининг пойдевори. Тошкент:-1998
2. Ўзбекистон Республикасининг Кадрлар тайёрлаш миллий дастури. Тошкент: 1997.
3. Kulikov. L. Ya. Nazarov. R.N Algebra va nazariyasi.
www.ziyonet.uz
www.hozir.org
www.fayllar.org
www.aim.uz