Algebraik tengsizliklarni yechish usullari’’

2.4.Ikki noma’lumli chiziqli tenglama va tengsizliklar sistemasi.
Bir noma’lumli chiziqli tengsizliklar yordamida birgina noma’lum bo’lgan, yoki noma’lumlari ichidan bittasini boshqaari orqali ifodalash mumkin bo’lgan tenglamalarni yechish mumkin.
Ko’pchilik hollarda bir xil xossali birnecha parametrli hodisalar bayon etilishi mumkin. Bunday hodisalarni o’rganish uchun yangi algebraik vosita talab etiladi. SHunday vositalardan biri sifatida algebra kursida ikki noma’lumli ikki chiziqli tenglamalar sistemasi olinadi. Bunday usul yuqoridagi tenglamalar sinfini o’rganish metodikasiga asoslanadi. Mavzuni bayon etishni quydagi masalaga oxshash masalani yechish bilan boshlash yaxshi ntija beradi.
Masala. Bir oila o’z tomorqasiga 41,4 so’mga 26 tup olma va 15 tup gilos ko’chati, ikkinchi olia esa shu narxda 34,2 so’mga 22 tup olma, 12 tup gilos ko’chati o’tqazdi. Har bir tub olma va gilos ko’chatini narxini aniqlang.
Bu masalani eng avval bir noma’lumli tenglama yordamida yechish maqsadga muvofiq. Buning uchun bir tup olma ko’chatini narxini desak, 26 tup olma ko’chati 26 so’m bo’ladi, 15 tup gilos ko’chati esa so’m bo’ladi. Bir tup gilos ko’chati so’m bo’ladi. Ikkala oila ko’chatlarini bir xil narxda olgani uchun quydagi tenglamani tuzamiz :
Tenglamani yechib (bir tub olma ko’chat narxi topildi). Gilos ko’chatini narxini topish uchun tenglamadagi ixtiyoriy bir ifodaga qo’yib 1,2 natijaga ega bo’lamiz.
Demak, olma ko’chati 0,9 so’m, gilos ko’chati esa 1,2 so’m ekan. SHu masalani ikki harf – ikki noma’lum yordamida qanday yechishni ko’raylik. Olma ko’chati narxini so’m, gilos ko’chati narxini esa so’m deb belgilasak, masalaning shartiga asosan quydagi tenglamalarni tuzamiz.

Masalani yechish uchun ikkala tenglamani ham qanoatlantiruvchi va ni qiymatlarini topish kerak, ikkinchi xil aytganda tenglamalarni birgalikda yechish kerak. SHunday hollarda birinchi darajali, ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi berilgan deyilib, ikkalasini birgalikda qavsga olinadi.

O’quvchilarga masalaning yuqorida berilgan qiymatlari sistemali javoblari bo’lish bo’lmasligini mustaqil tekshirib ko’rish topshiriladi. Bunday masalalarni yechgandan so’ng sistemaga ta’rif berish mumkin :

1. 
   Bir xil noma’lumlar bitta kattalikni ifodalovchi ikki yoki birnechta tenglama - tenglamalar sistemasini tashkil etadi.
   
2. 
   Ikki tenglama sistemasini yechish undagi noma’lumlarni qanoatlantiruvchi qiymatlarini topish demakdir. Noma’lumlarni qanoatlantiruvchi shunday qiymatlar juftiga sistemaning yechimi deyiladi. Bunday tushuncha bilan ikki noma’lumli tenglamaning yechimi ixtiyoriy son bo’lmay balki tartiblangan juftidan iborat muxim yangi tasavvurga ega bo’ladi.
   

Ikki noma’lumli ikki tenglama sistemasini

Umumiy ko’rinishini ko’rsatish foydali bo’ladi. Mavzuni o’tishda, o’rniga qo’yish, qo’shish usullari yordamida ikki noma’lumli ikki tenglama, sistemasini mustaqil yechishga va bunday sistemaga keluvchi masalalarni hal qilish ko’nikmalariga ega bo’lishga o’quvchilarni diqqatlarini qaratmoq kerak. Ikki noma’lumli ikki tenglama sistemasini grafik usulda yechishda sistemaning yagona cheksiz ko’p yechimlariga ega bo’lgan hamda yechimlari mavjud bo’lmagan hollarga alohida e’tibor qilish lozim bo’ladi.
Sakkiz yillik maktablarda kvadrat tenglamalarni yechish va u yordamida masalalarni hal qilish muhim o’rinni egallaydi. SHu sababdan bu mavzuni o’tishda o’qituvchidan kvadrat tenglamani turli ko’rinishlarini yechishni sodda va qulay usullarini, eng muhimi kvadrat tenglama keltiriladigan masalalarni yechish ko’nikmalarini o’quvchilariga puxta o’rgatishga alohida e’tibor qilish lozim. (bu yerda ) ko’rinishidagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi. Kvadrat tenglama ildizlarining soni ifodaning musbat, manfiy yoki nolga teng bo’lishiga bog’liq. ifoda kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi va odatda harfi bilan belgilanadi.
Agar :

1. 
   bo’sa, tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi.
   
2. 
   bo’lganda tenglama yagona ildizga ega bo’ladi.
   
3. 
   bo’lganda esa berilgan tenglama ikkita ildizga va ega bo’ladi. umumiy holda (bu yerda ) ko’rinishida yoziladi. Ko’pchilik algebra kitoblarida yuqoridagi formuladan tashqari keltirilgan kvadrat tenglama uchun quydagi formuladan bu yerda foydalaniladi. Kvadrat tenglamani yechishni o’quvchilar 7-sinfda o’rganadilar. Keyingi sinflarda esa bu mavzuga doir har xil misol va masalar orqali uni takrorlaydi va ayrim xossalari bilan tanishadilar. (bu yerda – uchinchi yoki undan yuqori darajada bo’lgan ko’phad) korinishidagi tenglamalarni, berilgan ko’phad birinchi yoki ikkinchi darajali ko’phadga ega bo’lgan ko’paytuvchilarga ajratish bilan, yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yoki ko’rinishiga keltirish bilan yechadilar. Aytaylik ko’rinishidagi tenglamani yechish lozim bo’lsin. tenglamadagi ko’phadni ko’paytuvchilarga ajratib quydagiga ega bo’lamiz :
   

Ifodaning har biri ning har qanday qiymatida ma’noga ega bo’lgani uchun berilgan tenglama yoki yoki tenglamalariga teng kuchli. Demak, berilgan tenglamaning yechimlari -1, -4, 4 sonlardan iborat.
Sakkiz yillik maktablarda yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yechiladigan tenglamalarga misol qilib bikvadrat tenglamani ko’rsatish mumkin. Bu tenglamani yechishga doir aniq misol ko’raylik
Tenglamadagi orqali belgilab, ga ega bo’lamiz. Butenglamani yechib ikkita ildizga ega bo’lamiz. Demak, berilgan bikvadrat tenglama yoki larga teng kuchli bo’ladi. bu tenglamalarni yechib qiymatlarni topamiz. Bu qiymatlarni berilgan bikvadrat tenglamaning ildizlari bo’ladi. ko’rinishidagi tenglamani unga teng kuchli tenglamaga almashtirish mumkin. toq bo’lganda bu tenglamani tenglamaga teng kuchli bo’ladi. juft bo’lganda : ; hollari bo’lishi mumkin. bo’lganda, tenglama yechimga ega emas. bo’lganda tenglama birgina yechimga ega bo’adi. bo’lganda esa tenglama va ikkita ildizga ega bo’ladi. Demak, ifodalar butun bo’lganda ko’rinishidagi chiziqli yoki kvadrat tenglamaga teng kuchli bo’lgan har qanday tenglamani o’quvchilar yecha oladilar. Agar ko’rib o’tilgan tenglamalar uchinchi yoki undan katta darajali bo’lgan ko’phaddan iborat) tenglamaga teng kuchli bo’lsa, u holda bunday bunday tenglamalarni o’quvchilar maxsus ko’rinishtagilarnigina yecha oladilar. Endi va lar ratsional ifodalar, kamida bittasi kasrli bo’lgan ko’rinishidagi tenglamani yechishni ko’raylik. Uni aniq misollarda ko’ramiz.
(1)
Tenglamasi berilgan bo’lsin. Tenglamani hadini teskari ishora bilan tenglikning chap tomoniga o’tqazib nolga tenglashtiramiz.
(2)

1. 
   tenglama (2) ko’rinishga keltirilganda uning ildizi yo’qolishi yoki yangidan ildizga ega bolishi mumkin. Haqiqatdan ifoda ning qiymatlarida aynan nolga teng. ni nolga aylantiradigan qiymatlarida yangidan ildizga ega bo’lishi mumkin. bu qiymatlar (2) tenglamaning ildizlari bo’la olmaydi, chunki bu qiymatlarda ifoda o’z ma’nosini yo’qotadi. SHu tariqa muhokama yuritib ratsional ifodalar va bularning kamoda bittasi kasrli bo’lganda tenglama tenglamaga teng kuchli bo’ladi. yuqorida ko’rib o’tgan misolga qaytaylik
   

Kasrlarning yig’indisi keltirib, quydagi tenglamaga ega bo’lamiz

(3)tenglamaga (2) va (1) tenglamalarga teng kuchli bo’ladi. kasrli ifodani surat va maxraji ko’phadlardan iborat bo’lganda tenglamani almashtirish natijasida o’ziga teng kuchli bo’lgan tenglamaga har doim o’tish mumkinmi ?
Buni aniq misollarda ko’raylik.
1-misol. (4) tenglamani ko’rinishiga keltiramiz.
Tenglamaning chap tomonidagi ifodalarni qisqartirib, quydagiga ega bo’lamiz. (5)
(5) tenglama (4) ga teng kuchli emas.
Haqiqatdan 2 soni (5) tenglamani qanoatlantiradi, (4) ni esa qanoatlantirmayni.
CHunki ayniy almashtirishda teng kuchlilikka zid ish qilindi, natijada torroq aniqlanish sohasidan unga nisbatan kengroq aniqlanish sohasiga o’tildi, ya’ni ifoda dan boshqa hamma qiymatlarda aniqlangan. oifodasi esa ning istalgan qiymatida aniqlangandir.
2-misol. (6)
Bu tenglamada ayirmani nol soni bilan amashtiramiz. U holda (7) tenglikka ega bo’lamiz. (7) tenglama 6 tenglamaga tengkuchli emas, chunki o’zgaruvchi ning shunday qiymati (3 soni) mavjudki, u (7) ni qanoatlantiradi, (6)ni esa qanoatlantirmaydi. Bu yerda tengkuchlilik buzilgan, ifodaning aniqlanish soxasi ifodaning aniqlanish sohasidan kengroq.
Kamida bittasi kasr bo’lgan ratsional ifodani kasri bilan almashtirilganda ko’phadlarda bajarilgan ayniy almashtirishlar aniqlanish sohalarini o’zgartirmasa, u holda tenglamasi tenglamasiga , bundan esa ga teng kuchli bo’ladi. demak, (4) tenglamaga tenglama teng kuchli. (6) tenglamaga esa yoki tenglamasi teng kuchli.
Xulosa qilib aytganda yuqorida ko’rib o’tgan tenglamaning har xil ko’rinishlari bilan o’quvchilar VII sinfda tanishadilar. Bu usul “traditsion usul” hisoblangan maxrajini tashlab yuborish usulidan qatiy ustunlikka ega.

O’ZGARUVCHISI MODULGA TEGISHLI TENGLAMALAR.
Sakkiz yillik maktablarda o’zgaruvchisi modulga tegishli sodda tenglamalar o’rganiladi. Bunday tenglamalarga ni ko’rsatish mumkin. bunday tenglamalarni yechishda modulning ta’rifiga asosan quydagilarni e’tiborga olish kerak : Agar bo’lsa tenglama ildizga ega bo’lmaydi. bo’lsa, tenglama ga teng kuchli, bo’lganda esa tenglama yoki larga teng kuchli bo’ladi.
Undan tashqari VIII sinf o’quvchilari yoki ko’rinishidagi tenglamalar bilan ham tanishadilar. Bunday tenglamalarga misol qilib tenglamalarni ko’rsatish mumkin. Agar bo’lgandagina tengligi to’g’ri bo’ladi, bo’lganda esa bo’ladi. SHuning uchun ham tenglama ga tengkuchli, tenglamasi esa ga tengkuchlidir. Bir noma’lumli tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lgan hol bilan o’quvchilar “Sonning butun va kasr qismi” mavzusi bilan tanishganlarida duch keladilar. Masalan, da ning butun qismini ifodalaydi va tengsizligiga tengkuchli bo’lib, tenglamaning yechimi oraliqda joylashgan bo’ladi. va larning tengkuchliligi sonini butun qismi ta’rifidan kelib chiqadi. Sonning kasr qismi ta’rifidan (bu yerda ning kasr qismi) ning yechimi sonlaridan iborat.
Irratsional ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalarni boshqa paragrafda qaraymiz.