Algebraik amallar va ularning xossalari. Ta`rif

Gruppa, yarimgruppa va monoidlar
Aytaylik A¹Æ to‘plam, * - A to‘plamda aniqlangan binar amal bo‘lsin.
1.3.1-ta’rif. Agar A to‘plamda aniqlangan * binar amal assotsiativ bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, u holda A yarimgruppa deyiladi. Agar * amal + (qo‘shish) amali bo‘lsa, A - additiv yarimgruppa, × (ko‘paytirish) bo‘lsa, A- multiplikativ yarimgruppa deyiladi.
Agar * amal kommutativ bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, A ni kommutativ, agar A chekli bo‘lsa, A ni chekli yarimgruppa deyiladi. bo‘lsa, u holda A ni qisqartirishga ega bo‘lgan yarimgruppa deyiladi.
1.3.1-misol. , * - akslantirishlarning ko‘paytirish (kompozitsiyasi) amalidan iborat bo‘lsin. U holda A yarimgruppa bo‘ladi. Chunki akslantirishlarni ko‘paytirish amali assotsiativlik xossasiga ega.
1.3.2-ta’rif. Agar A yarimgruppa bo‘lib, A to‘plam * amalga nisbatan e neytral element mavjud bo‘lsa, u holda monoid deyiladi.
1.3.2-misol. N algebra multiplikativ monoid bo‘lishini ko‘rsatish oson. N additiv yarimgruppa monoid bo‘lmaydi, chunki N to‘plamda qo‘shish amaliga nisbatan neytral element mavjud emas.
Aytaylik A yarimgruppa bo‘lsin, u holda
(1)
simvolni

ma’nosida tushuniladi.
Agar * amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, (1) ni qisqacha ko‘rinishda, * amal × (ko‘paytirish) dan iborat bo‘lsa, ko‘rinishda belgilaymiz.
Demak,
(2)
(3)
Xususiy holda bo‘lsa, u holda (2) , (3) esa ko‘rinishga keladi.
Algebraning xususiy ko‘rinishlaridan biri gruppa tushunchasi bo‘lib, u matematika va uning tatbiqlarida muhim ahamiyatga ega.
1.3.3-ta’rif. to‘plamda aniqlangan binar amal quyidagi shartlar (gruppa aksiomalari) ni qanoatlantirsa:
1⁰.
2⁰.
3⁰.
u holda gruppa deyiladi.
Agar yuqoridagi 1⁰ - 3⁰ shartlarga qo‘shimcha ravishda yana
4⁰ bo‘lsa, u holda ni kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi. Agar chekli to‘plam bo‘lsa, ni chekli gruppa ning elementlari soni gruppaning tartibi deyiladi. Agarda cheksiz to‘plam bo‘lsa, gruppaning tartibi cheksiz deyiladi.
Agar * binar amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, gruppani additiv deyiladi. Bu holda ko‘rinishda yoziladi va uni va elementlarni yigindisi deyiladi. Agar amal × (ko‘paytirish) amalidan iborat bo‘lsa, ni multiplikativ gruppa deyiladi, a*b ni a×b yoki ab ko‘rinishda belgilanadi hamda a va b elementlarning ko‘paytmasi deyiladi.
1.3.1-teorema. Agar gruppa bo‘lsa, uchun tenglik o’ringa ega bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik ga teskari element bo‘lsa, ya’ni . U holda , , ya’ni .
Teorema isbotlandi.
1.3.2-teorema. gruppa bo‘lsa, bo‘ladi.
Isbot. 3⁰ aksiomadan esa kelib chiqadi. Shuning uchun Demak, .
1.3.3-teorema. Agar va bo‘lsa, bo‘ladi.
Isbot. shuning uchun 1-teoremadan tenglik o‘rinli
Demak, .